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Eigenvektor einer 3x3 Matrix
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Eigenvektor, Eigenwert
 
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Ich habe die Matrix: Mit den Eigenwerten: und 6. Wenn ich jetzt die Eigenvektor für bestimmen möchte, habe ich die Gleichungen: I) II) III) Dann setze ich in Gleichung I für ein, für und . Gleichung I) ist erfüllt. Jedoch die zweite nicht... Dort müsste und sein. Hat jemand eine Idee? Danke!! |
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Hallo das ist doch ein System von Gleichungen, da kannst du nicht einfach eine Lösung der einen raten (es gibt unendlich viele) und hoffen, dass sie in der anderen stimmt. Multipliziere die erste Gl mit und addier sie zur zweiten- deine dritte Gleichung ist falsch da muss stehen, dann findest du auch einen Eigenvektor, der nicht 0 ist. Gruß ledum |
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Deine III) ist ja interessant . Da wird die Lösung spannend! Allerdings sollte III) besser lauten. Und das auf der rechten Seite von II sollte eine Null sein. Da in dem GLS nicht mehr vorkommt, kann beliebig gewählt werden. Wie du auf und kommst, ist mir ein Rätsel. Du darfst doch nicht eine Gleichung für sich betrachten und davon irgend eine Lösung angeben. Die wird . sicher keine Lösung der zweiten Gleichung sein. So ist das eben bei einem Gleichungssystem und wie man so ein System löst, dafür solltest du längst eine Reihe von Verfahren parat haben. In deinem Fall stelt sich als Lösung ein und somit ist jeder Vektor der Bauart mit ein zum Eigenwert gehöriger Eigenvektor. Es gibt nie DEN zu gehörigen EV. Es gibt immer unendlich viele. |
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Ich habe die Aufgabe jetzt einfach mal als Bild eingefügt. Da steht wirklich 5 und nicht . Und was das Lösen von LGS angeht. Klar weiß ich, wie man solche im Prinzip löst. Nur dachte ich, bei Eigenvektoren dürfte man immer eine Variable frei wählen?  |
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Die Angabe ist schon OK, aber deine dritte Gleichung war falsch. Du hattest da stehen. wohingegen richtig wäre. Das hat dir ledum schon geschrieben. Wenn du bildest, entsteht doch eine Matrix, bei der die letzte Zeile und die letzte Spalte nur aus Nullen besteht. Nur dachte ich, bei Eigenvektoren dürfte man immer eine Variable frei wählen? Nun, wie schon geschrieben, gibt es zu jedem Eigenwert idR unendlich viele (kollineare) Eigenvektoren. Aber das bedeutet nicht zwangsläufig dass du immer eine beliebige Vektorkomponente beliebig wählen darfst. Wenn es so wir in dem Beispiel ist, dass die zu gehörigen Eigenvektoren eben alle zur Applikate ("z"-Achse) parallel sind, dann müssen Abszissen- und Ordinatenkomponente eben Null sein und dürfen nicht frei gewählt werden. Nur für Komponenten, die nicht Null sind, kann eine beliebe Zahl (außer Null) gewählt werden. In deinem Bsp ist da nur die dritte Komponente. |
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Also kann man an Eigenvektoren von Matrizen nicht so einfach ran gehen wie an solche von Matrizen, bei denen man die Lösung meistens schon sieht, und daher quasi "frei" wählen kann. Demnach "einfach" das LGS lösen und gucken, welche Lösung raus kommt. Da kann ich hier doch: I) I) II) III) Und dann I)+II) rechnen, damit weg fällt und dann habe ich stehen I) II) III) Demnach ist und folglich auch wenn man einsetzt, das LGS ist unterbestimmt und ich kann frei wählen? Aber wäre demnach nicht auch gleich 0? |
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Hallo nochmal wiederholt : um dien eigenvektor zum EW 5 zu finden musst du doch lösen wenn du von A abziehst steh in der letzten Zeile in den anderen Zeilen hast du die 5 ja auch abgezogen! wenn da stünde wäre wirklich da aber da steht . lies doch posts genauer, dass deine 5 falsch ist stand in jeder antwort, aber du hast nicht reagiert- auch nicht nachgefragt ! Helfen macht keinen spaß, wenn die fragenden die postd fast nicht lesen! ledum |
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Also ziehe ich von allen drei Gleichungen ab und habe in der dritten Gleichung da stehen, kann mein frei wählen und löse danach die anderen beiden Gleichungen auf? In I und II steht dann eben wieder ein aber das kann ich dann ja frei wählen, weil es nur noch 2 Gleichungen aber 3 Unbekannte sind. Und sorry, ich habe bis eben einfach nicht verstanden, wieso die 5 falsch sein sollte. |
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Und sorry, ich habe bis eben einfach nicht verstanden, wieso die 5 falsch sein sollte. Dann erkläre du doch einmal, wie du auf deine Gleichung oder jetzt seit einiger Zeit plötzlich kommst. Am Besten die rechnest, um Missverständnisse zu vermeiden, ganz langsam vor, wie du überhaupt von der gegebenen Matrix auf deine (welche?) drei Gleichungen kommst und was du danach mit diesen anstellst. |
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du ziehst NICHT ab sondern von deiner Matrix Einheitsmatrix! Gruß ledum |
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Okay, ich denk mal drüber nach. Haben das halt noch nie vorher mit einer Matrix gemacht. Auf die komme ich durch die dritte Zeile der Matrix, Da steht doch Und durch Komme ich in der letzten Zeile auf |
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A⋅(−λ⋅E)(x)=0 Was soll denn dieser Unfug? Können wir uns vielleicht, so wie ich es und auch ledum bereits weiter oben geschrieben haben, auf einigen? Du solltest dir wirklich langsam angewöhnen, die gegebenen Antworten nicht bloß zu überfliegen, sondern komplett zu lesen! Denk darüber, welchen Wert du für einsetzt. Wie schaut nun aus? Wie sieht die Matrix aus? Wie sehen nun wirklich die drei Gleichungen, die sich aus ergeben, aus? Falls noch immer nötig: Überlege das Ergebnis von ? |
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Okay, okay, ich habe meinen Fehler gesehen, danke für die unendliche Geduld. ;-) |
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