Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Eigenvektor zu Eigenwert einer 2x2 Matrix

Eigenvektor zu Eigenwert einer 2x2 Matrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenvektor berechnen

paddynaut aktiv_icon

14:53 Uhr, 02.05.2016

Hallo,

ich habe die unten stehende Aufgabe zu lösen und stehe nach mehrmaligen Versuchen immer noch auf dem Schlauch und bitte darum um Hilfe.

Aufgabe:

Eigenwerte und Eigenvektoren zu der Matrix A berechnen.

A = (\frac{1}{25}) \cdot

7 [24

24 [- 7

Meine EW sind:

(1)

und

(- 1)

.

Ich bekomme es einfach nicht hin die LGS zu lösen...

Für den EW 1 ergibt sich das LGS:

1 [4 [0

3 [- 1 [0

Wodurch ich nach dem nächsten Schritt

1 [4 [0

0 [- 13 [0

erhalte was nach Umstellung der Gleichungen

x 1 = - 4 x 2

und

- 13 x 2 = 0

ergibt.
Also könnte der EV

z . B

(- 4,0)

sein.

Die LSG gibt für den EW 1 den EV

0,25 \cdot (4; 3)

und für den EW 2 den EV

0,25 \cdot (- 3; 4)

an.

Obwohl es so eine banale Aufgabenstellung ist, komm ich einfach nicht drauf.

Schon Mal vielen Dank!

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

14:56 Uhr, 02.05.2016

Schon die Eigenwerte stimmen nicht. Zumindest wenn die Matrix

\frac{1}{25} (\begin{array}{rcl} 7 & 24 \\ 24 & - 7 \end{array})

ist.

paddynaut aktiv_icon

14:58 Uhr, 02.05.2016

Die Formatierung hats mir ein bisschen zerlegt.

Ich meinte

λ 1 = 1

und

λ 2 = - 1

Bin mit der Syntaxeingabenoch ein bisschen am vertraut werden.
Der Werte sollten stimmen.

DrBoogie aktiv_icon

15:05 Uhr, 02.05.2016

Die Werte stimmen aber nicht.
Oder Deine andere Matrizen sind auch falsch.
Stell ein Bild rein, wenn Du keine Formeln schreiben kannst.

paddynaut aktiv_icon

15:19 Uhr, 02.05.2016

Ja. Angefügt.

paddynaut aktiv_icon

15:24 Uhr, 02.05.2016

Wenn ich die Seite neu lade werden die Formatierungen ab und zu verschoben.
Und ich denke mal das Bild hätte in der Antwort angezeigt werden müssen.
Trotz des erfolgreichen Hochladens als Anlage ist es bei mir nicht ersichtlich.
Ich versuchs nochmal.

Ich bitte um Entschuldigung für das Hin und her.

DrBoogie aktiv_icon

15:26 Uhr, 02.05.2016

Versuch's mit der Formel:
\left(\begin{eqnarray} 1& 4\\2 & 5\end{eqnarray}\right)
Du musst da nur Deine Zahlen reinmachen und Dollarzeichen vorne und hinten schreiben.

paddynaut aktiv_icon

15:40 Uhr, 02.05.2016

Komisch. Das Bild ist ein JPG und wird als hochgeladen angezeigt. Naja.

Das ist die Matrix

\frac{1}{25} \cdot (\begin{matrix} 7 & 24 \\ 24 & - 7 \end{matrix})

Meine EW sind

Λ (1) = 1

und

Λ (2) = - 1

Diese sind richtig, da sie mit der Musterlösung übereinstimmen.

Der Rest sollte akkurat in meiner Hauptfrage stehen.
Ich bekomme es nicht hin das für die EVermittlung benötigte LGS zu lösen.

Vielen Dank für die Mühe und die viele Geduld.

DrBoogie aktiv_icon

18:40 Uhr, 02.05.2016

OK, die Eigenwerte sind richtig, da habe ich mich verkuckt.

Also, der EW

1

.
Das System ist dann

(\frac{1}{25} (\begin{array}{rcl} 7 & 24 \\ 24 & - 7 \end{array}) - 1 \cdot (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})) v = 0

, am besten es einfach sofort mit

25

multiplizieren:

((\begin{array}{rcl} 7 & 24 \\ 24 & - 7 \end{array}) - (\begin{array}{rcl} 25 & 0 \\ 0 & 25 \end{array})) v = 0

oder einfach

(\begin{array}{rcl} - 18 & 24 \\ 24 & - 32 \end{array}) v = 0

. Mit

v = (v_{1}, v_{2})

haben zwei Gleichungen

- 18 v_{1} + 24 v_{2} = 0

und

24 v_{1} - 32 v_{2} = 0

. Beide Gleichungen sind äquivalent zu

3 v_{1} = 4 v_{2}

.
Also, wenn man

v_{2}

beliebig (aber

\neq 0

) wählt, ist

(\frac{3}{4} v_{2}, v_{2})

ein Eigenvektor. Wählt man

v_{2} = 4

, bekommt man den Eigenvektor aus der Lösung.

Genuaso für den zweiten EW.

paddynaut aktiv_icon

19:00 Uhr, 02.05.2016

Danke!

Mein Problem war auf das System

(\begin{matrix} - 18 & 24 \\ 24 & - 32 \end{matrix})

zu kommen.
Gibt es eine Möglichkeit durch Einsetzen von

Λ

hier

= 1

in die untenstehende Matrix direkt darauf zu schließen? So wären wir immer vorgekommen und da kann ich den nächsten nötigen Schritt nicht nachvollziehen um zur richtigen "Endmatrix"

(\begin{matrix} - 18 & 24 \\ 24 & - 32 \end{matrix})

zu gelangen.

\frac{1}{25} \cdot (\begin{matrix} 7 - λ & 24 \\ 24 & - 7 - λ \end{matrix})

Das wars dann auch. Einen schönen Tag.

DrBoogie aktiv_icon

19:07 Uhr, 02.05.2016

"Gibt es eine Möglichkeit durch Einsetzen von Λ hier =1 in die untenstehende Matrix direkt darauf zu schließen?"

Da

λ = 1

einzusetzen ist grundsätzlich falsch. Die Gleichung ist

(A - λ I) v = 0

. Wenn Du dort

λ = 1

einsetzt, hast Du aber

(A - \frac{λ}{25} I) v = 0

wegen dem Faktor vor der Matrix.

paddynaut aktiv_icon

19:08 Uhr, 02.05.2016

Das war der Knackpunkt bei dem ich mir nicht sicher war.

Danke Du hast mir sehr geholfen!

1305027

1304970

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?