Eigenvektoren, Fundamentalmatrix

Hallo,

für jeden EW t finde eine nichttriviale Lösung von A-tE=0.

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}3-(-2)& 0& 0\\ 4& -2-(-2)& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 4& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{-2}=\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)}$

Dasselbe machst Du mit dem anderen EW.

Die beiden Vektoren schreibst Du in eine Matrix S, dann ist ${\displaystyle {\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 3\end{array}\right),{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}& 0\\ 0& {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\end{array}\right),\mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}& 0\\ 0& {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\end{array}\right)\cdot {\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}}$

Gruß

Stephan

Du kennst elementare Zeilenumformungen bzw. den Gauß-Algorithmus?

Erste Zeile durch 5 teilen. dann 4mal von der zweiten abziehen.

Die zweite Spalte hat keine Stufeneins (kein Pivotelement), also ist v2 frei wählbar.

Die erste Zeile lautet ausgeschrieben 1*v1 + 0*v2 = 0, also v1=0.

Somit ist jeder Eigenvektor von der Form ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)}$. Ich habe dann einfach ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ gesetzt.

Für die zweite Frage müssen wir klären, was Du unter einer Fundamentalmatrix verstehst.

Das ist gemeinhin die allgemeine Lösung der Differentialgleichung Y'=A*Y.

Die Eigenvektoren stehen in den Spalten der Matrix S, dafür benötigst Du sie also.

Um die Hauptachsentransformierte hinzuschreiben, benötigst Du sie nicht, außer Du willst nachrechnen, dass genau diese Diagonalmatrix herauskommt. Übrigens stehen die Eigenwerte in derselben Reihenfolge in der Hauptachsentransformierten, wie die Eigenvektoren in S stehen.

und Du besuchst auch keine Vorlesung und die Aufgabe ist vom Himmel gefallen?

Kannst Du dir denn keine Kopien von einem Kommilitonen besorgen - irgendwelche Mitschriften werden doch existieren?

Dass die Aufgabe nicht viele Punkte gibt ist klar, da man bei 2*2 Matrizen alles Benötigte sehr schnell hinschreiben kann - einschließlich die Inversen.

Nicht falsch verstehen, wir helfen hier gerne.

Nur wenn Dir selbst nicht genau klar ist, was Du wissen möchtest, können wir dier nicht effizient helfen.

Die Eigenvektoren schreibst Du in eine Matrix ${\displaystyle \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& 4\end{array}\right)}$. Dies ist die Basistransformation für den Basiswechsel. Dann ist ${\displaystyle {\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\cdot \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)}$ eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten in der Diagonalen in genau derselben Reihenfolge, wie die Eigenvektoren in S stehen. Das ist so, das kann man, muss man aber nicht nachrechnen.

Substituiere Y=SZ. Aus Y'=AY wird SZ=ASZ bzw. ${\displaystyle \mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit der Lösung ${\displaystyle \mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}& 0\\ 0& {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\end{array}\right)}$. Dies ist halt nur bei Diagonalmatrizen so einfach hinzuschreiben, deshalb der ganze Aufwand.

Jetzt rücksubstituieren: ${\displaystyle \mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}& 0\\ 0& {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 5{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\\ {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}& 4{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\end{array}\right)}$.

Manche substituieren lieber ${\displaystyle \mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}}$,aber das macht zusätzliche Arbeit und bringt nur bei komplexen Eigenwerten Vorteile.