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Eigenvektoren anhand von Matrix bestimmen?

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert Eigenvektoren, matriz, Stochastik, Übergangsmatrix, Wahrscheinlichkeit

MatheNichtSoProfi aktiv_icon

16:30 Uhr, 19.07.2017

Hallo Freunde der Mathematik,

ich habe hier 3 Beispiele, bei denen die Einheitsvektoren zu den Eigenwerten λ berechnet wurden.
Bis zu dem Punkt, wo die Matrix in die Zeilen-Stufen-Form umgeformt worden sind, ist mir noch alles verständlich. Doch dann weiß ich nicht wie von dieser auf den Einheitsvektor geschlossen wurde, bzw. was

x_{1}

und was

t

ist.

1 .)

λ= 1

(\begin{matrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

(Das soll die Matrix in der Zeilen-Stufen-Form darstellen, also ohne die beiden Klammern

) (

(nur mit dem Trennstrich.)

Als Eigenvektor wurde dazu

x = (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix})

angegeben.
Wie kommt man dazu?

2 .)

Genauso hier:

λ= 2

(\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

x = (\begin{matrix} t \\ 0,5 t \end{matrix})

3 .)

Und hier:

λ= 2

(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

x = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot t

Wie kommt man auf diese Eigenvektoren?
Ich hoffe ihr könnt mir mit einer Erklärung helfen.

Vielen Dank schon mal im voraus!
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

17:28 Uhr, 19.07.2017

Hallo,

das Verfahren ist immer das selbe:

Du hast eine Matrix

A,

wie

z . B

. bei

3),

also die Matrix

A = (\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \end{matrix})

. Von der willst Du die Eigenwerte ermitteln. Dazu ermittelst Du die Determinante der Matrix

A - λ \cdot E

und setzt diese gleich Null, also:

0 = det (A - λ \cdot E)

= det ((\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}) - λ \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}))

= det ((\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix}))

= det ((\begin{matrix} 3 - λ & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{matrix}))

= (3 - λ) \cdot (2 - λ) - (- 1) \cdot 0

= (3 - λ) \cdot (2 - λ)

Da sieht man sofort, dass die Eigenwerte

λ_{1} = 3

und

λ_{2} = 2

sind. Um die Eigenvektoren zu den Eigenwerten zu ermitteln, löst man das homogene Gleichungssystem

(A - λ \cdot E) \cdot \vec{x} = \vec{0}

zu jedem Eigenwert, also:

((\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}) - λ \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 3 - λ & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Zum Beispiel zum Eigenwert

λ_{2} = 2 :

(\begin{matrix} 3 - 2 & - 1 \\ 0 & 2 - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Ein solches Gleichungssystem schreibt man auch kurz:

(\begin{matrix} 1 & - 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})

das bedeutet aber nichts anderes als:

1 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} = 0

0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} = 0

Da sieht man leicht, dass die letzte Zeile keinen Beitrag zur Lösung liefert, die erste Zeile aber enthält eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Jetzt löst man solche Gleichungen, indem man eine der beiden gesuchten Vektorkomponenten durch den freien Parameter

t

ersetzt und damit die andere Vektorkomponente errechnet. Diese eine Gleichung ergibt dann, wenn man

x_{1}

durch

t

ersetzt, also

x_{1} = t

setzt?

1 \cdot t - 1 \cdot x_{2} = 0

t - x_{2} = 0 | + x_{2}

t = x_{2}

bzw. schöner

x_{2} = t

Dann ergibt sich als allgemeine Lösung, dass alle Vektoren der Form

(\begin{matrix} t \\ t \end{matrix})

mit

t \in ℝ

ein Eigenvektor sind. Und man schreibt als Lösung:

\vec{x} = (\begin{matrix} t \\ t \end{matrix})

oder "schöner"

\vec{x} = t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Als weiteres Beispiel hier noch die Lösung für den Eigenwert

λ_{1} = 3

(\begin{matrix} 3 - 3 & - 1 \\ 0 & 2 - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Ein solches Gleichungssystem schreibt man auch kurz:

(\begin{matrix} 0 & - 1 & | & 0 \\ 0 & - 1 & | & 0 \end{matrix})

das bedeutet aber nichts anderes als:

0 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} = 0

0 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2} = 0

Da sieht man leicht, dass beide Zeilen die selbe Lösung haben, man rechnet demzufolge nur mit einer Gleichung weiter. Jetzt löst man solche Gleichungen, indem man die Vektorkomponente durch den freien Parameter

t

ersetzt, deren Koeffizient gleich Null ist und errechnet damit die andere Vektorkomponente. Diese eine Gleichung ergibt dann, wenn man

x_{1}

durch

t

ersetzt, also

x_{1} = t

setzt?

0 \cdot t - 1 \cdot x_{2} = 0

- x_{2} = 0

bzw. schöner

x_{2} = 0

Dann ergibt sich als allgemeine Lösung, dass alle Vektoren der Form

(\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix})

mit

t \in ℝ

ein Eigenvektor sind. Und man schreibt als Lösung:

\vec{x} = (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix})

oder "schöner"

\vec{x} = t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

MatheNichtSoProfi aktiv_icon

17:52 Uhr, 19.07.2017

Vielen Dank für deine ausführliche und leicht verständliche Erklärung! Hat mir sehr geholfen. :-)

Mir gings bei der ganzen Sachen um ein konkrete Aufgabe:

Ich habe diese Matrix in der Zeilen-Stufen-Form:

(\begin{matrix} - 0,8 & 0,1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Und dann so weiter gerechnet:

x_{2} = t

- 0,8 x_{1} + 0,1 t = 0 | - 0,1 t

- 0,8 x_{1} = - 0,1 t | : (- 0,8)

x_{1} = 0,125 t = \frac{1}{8} t

Eigenvektor:

x = (\begin{matrix} \frac{1}{8} t \\ ... \end{matrix})

Wie genau gebe ich jetzt den Eigenvektor an? Was ist der zweite Wert des Eigenvektors

(...)

?

Vielen Dank schon mal! :-)

Bummerang

17:56 Uhr, 19.07.2017

Hallo,

der Eigenvektor ist

\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

. Errechnet hast Du

x_{1} = \frac{1}{8} \cdot t

. Jetzt schau mal nach, ob Du da bei Dir nicht irgendwo eine Gleichung der Form

x_{2} = \dots

findest und dann setzt Du beides in

\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

ein und machst das dann noch etwas schöner!

MatheNichtSoProfi aktiv_icon

19:03 Uhr, 19.07.2017

Danke. Jetzt habe ich den Vektor. :-)

Wenn ich das System auf stabile Zustände untersuchen will, muss ich dann den Eigenvektor mit der Matrix multiplizieren und der daraus entstehende Vektor beschreibt dann den stabilen Zustand, oder wie ist das?

ledum aktiv_icon

20:30 Uhr, 19.07.2017

Hallo
Nein, wenn du

A \cdot x = 2 \cdot x

hat ist das offensichtlich nicht stabil, da ja

x

doppelt so groß wird

A^{2} \cdot x = A \cdot 2 x = 4 x

usw. also stabil nur wenn der Eigenwert 1 ist (oder wenn er kleiner 1 ist und

A^{n} \cdot x \to 0

wenn ihr das noch stabil nennt?)
Gruß ledum

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