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Eigenvektoren bei komplexen Eigenwerten

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichungssystem, Eigenvektor, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Lineare Abhängigkeit

Kampino aktiv_icon

13:51 Uhr, 26.06.2022

Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Eigenvektoren bei einem Differenzialgleichungssystem berechne. Außerdem soll ich beweisen, dass diese linear abhängig sind. Könnte mich da jemand erleuchten?

Die Eigenwerte habe ich:

s 1 = 1 + i; s 2 = 1 - i

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des
Differentialgleichungssystems:

| + 1 - 1 | = A

| + 1 + 1 |

Zeigen Sie anschließend, dass die Eigenvektoren linear
abhängig sind.

Die Aufgabe füge ich als Bild an.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

15:59 Uhr, 26.06.2022

Hallo,

eine der echten Anwendungen von Diagonalisierbarkeit von Matrizen (selbst wenn es wohl auch anders gehen mag...).

A

hat zwei versschiedene Eigenwerte (du nennst sie

s 1

und

s 2

).

Damit ist

A

ähnlich einer Diagonalmatrix, genauer:

A \sim (\begin{array}{rr} 1 + i & 0 \\ 0 & 1 - i \end{array}) = : D

.
Es existiert also eine Transformationsmatrix

T

, sodass

A = T^{- 1} D T

gilt.

Dein System ist also Äquivalent zu

T \dot{\vec{y}} = D (T \vec{y})

.

Gemäß

\vec{z} := T \vec{y}

ist also eine Substitution gegeben, die das lineare Differentialgleichungssystem "entkoppelt".

Kannst du

T

berechnen?

Mfg Michael

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