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Eigenvektoren berechnen
Universität / Fachhochschule
Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Lineare Algebra
 
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Hallo, ich habe ein Problem dabei die Eigenvektoren zu berechnen. Ich habe jetzt schon viel im Internet gesucht, aber komme einfach nicht darauf, wie das in meiner Lösung (siehe Anhang) gemacht wurde . Vielleicht könnte mir das jemand erklären? Wäre toll! (Die Eigenwerte zu berechnen ist kein Problem) Liebe Grüße Lizzy  |
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Hallo, sei nicht sauer, aber ich habe keine Lust, eine ellenlange Erläuterung zu schreiben. Wo - genau - drückt denn der Schuh??? Du schreibst, Eigenwerte könnest du berechnen. Also liegt es daran, dass du Eigenvektoren nicht berechnen kannst? Hast du gesehen, dass es sich NICHT um den Körper der reellen Zahlen handelt? Mfg Michael |
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Richtig, ich bräuchte den Teil, nachdem man die Eigenwerte berechnet hat. Also wie man - speziell hier in der Lösung - schlussendlich auf die Eigenvektoren kommt. Also ab: "Weil offenbar ein Element des Lösungsraums ist, ..." Dass das ist, habe ich gesehen :-) |
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Hallo führt doch zu ist aber also und eine Lösung, eine andere wäre was aber in nur ein Vielfaches des anderen ist. Gruß ledum |
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Hallo, man liest hier immer wieder, dass viele keine unterbestimmten LGS lösen können. Das Stichwort für eine eigene Recherche wäre z.b. "unterbestimmtes lgs lösen". Der Körper, über dem das erfolgt, ist egal. Er gibt nur vor, wie man speziell +, -, , rechnet. Die Strategie ist aber auch unabhängig davon, ob das LGS unterbestimmt ist oder nicht: Man erzeugt stets eine Zeilenstufenform (vgl. Musterlösung). Im Falle eines unterbestimmten LGS entsteht mindestens eine Nullzeile. Die Anzahl der Nullzeilen (bei quadratischen Systemen, welche bei Eigenvektorrechnung ausschließlich vorkommen) gibt die Dimension des zu ermittelnden Lösungsraums an. Im Fall (vgl. Musterlösung) ist diese Dimension 1: Du musst diese Kurzschreibweise auch immer als das sehen, wofür es steht: Für ein lineares Gleichungssystem. Die beiden einzig wichtigen Gleichungen (also nicht die letzte aus der Nullzeile resultierenden) lauten: Du siehst, dass offenbar stets gelten muss. Wenden wir uns der anderen Gleichung zu: . Hier kannst du eine Variable frei wählen (ein Freiheitsgrad). Die andere muss dann in Abhängigkeit der ersten gemäß dieser Gleichung bestimmt werden. Es ist kein Zufall, dass es bei dem System vom Rang 2 gerade genau einen Freiheitsgrad gibt: Ordnung 3 - Rang 2 = 1 Freiheitsgrad! Das ist die eine Hälfte des Schlüssels zur Lösung unterbestimmter LGS. Aus der Gleichung erhältst du , d.h. Vektoren, die dieses System lösen sind von der Form (bedenke !). Daraus extrahierst du irgend einen Spezialvektor, der nicht der Nullvektor ist, also etwa (d.h. . Warum die Sache schwieriger machen als nötig?!) Nun kommt, wenn du willst, die Sache mit dem speziellen Körper hinzu: In gilt , d.h. der Vektor kann als geschrieben werden. So, ziemlich viel Schreibarbeit meinerseits. Ich will übrigens nicht verhehlen, dass deine Fragen an Ort und Stelle gefragt werden könnten. Ein Besuch (in diesem Falle) der Übung würde die Sache für dich in dieser Hinsicht sehr vereinfachen! Abseits von deinem speziellen LGS gibt es zur Lösung von unterbestimmten LGS noch folgendes zu anzumerken: Was macht man bei Freiheitsgraden > 1? Dort müssen sich ja auch mehr Vektoren ergeben! Dort wählt man für die frei wählbaren Komponenten stets alle Null, bis auf einen. Den wählt man (um es nicht unnötig schwierig zu rechnen zu machen) als 1. Das macht man so lange, bis jede frei wählbare Komponente einmal 1 war (und alle anderen Null!). Deswegen bekommt man hinterher genau so viele Vektoren wie frei wählbare Komponenten. Der Clou: Diese Vektoren sind (wenn nach diesem Schema gewählt) stets linear unabhängig. Überlege dir (vielleicht anhand eines geeigneten Beispiels), warum das so ist! Mfg Michael |
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Danke, Deine Antwort hat mir noch sehr geholfen :-) |
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