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Eigenvektoren der Matrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Vektor, Vektorgleichung

Maxim123 aktiv_icon

12:20 Uhr, 21.06.2014

Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix:

A = (\begin{matrix} - 4 & 3 \\ - 6 & 5 \end{matrix})

Eigenwerte habe ich geschafft zu berechnen:

λ_{1} = 2

λ_{2} = - 1

Nun weiß ich leider nicht, wie ich auf die Eigenvektoren komme??

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

anonymous

12:42 Uhr, 21.06.2014

Ein Vektor

v

ist geneu dann ein Eigenvektor von A zum Eigenwert

λ,

wenn gilt:

A \cdot v = λ \cdot v

Also:

(A - λ \cdot I) \cdot v = 0

mit Einheitsmatrix

I

und Nullvektor 0.

Demnach muss also in diesem Fall für einen Eigenvektor

v = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})

von

A

zum Eigenwert

λ_{1} = 2

gelten:

((\begin{matrix} - 4 & 3 \\ - 6 & 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 6 & 3 \\ - 6 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Das ist nun ein lineares Gleichungssystem, welches man nach

v_{1}

und

v_{2}

lösen kann. Als Lösung erhält man dann

(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) \in s p a n {(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})}

Also ist jeder Vektor

r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

für ein beliebiges Skalar

r

im Körper ein Eigenvektor von

A

zum Eigenwert 2. Analog kann man die Eigenvektoren zu

λ_{2} = - 1

über ein entsprechendes Gleichungssystem berechnen.

Du kannst dir also das Folgende merken:
Hat man eine Matrix

A = (\begin{matrix} a_{1,1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n, 1} & \dots & a_{n, n} \end{matrix})

und möchte die Eigenvektoren

v = (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

zum Eigenwert

λ

berechnen, so löst man das homogene lineare Gleichungssystem:

(A - λ \cdot I_{n}) \cdot v = 0

Also:

(\begin{matrix} a_{1,1} - λ & a_{1, 2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2, 2} - λ & \dots & a_{2, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, n} - λ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})

Maxim123 aktiv_icon

12:47 Uhr, 21.06.2014

Das haben wir ja verstanden.

Allerdings verstehen wir noch nicht wie man die Werte von

v_{1}

und

v_{2}

kommt?
Wenn du uns das noch eben erläuterst - wären wir Dir sehr Dankbar

Stephan4

13:18 Uhr, 21.06.2014

matrixcalc.org/de/vectors.html

vllt hilft das.

anonymous

13:20 Uhr, 21.06.2014

Ok kein Problem:

(\begin{matrix} - 4 - 2 & 3 \\ - 6 & 5 - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Dieses Gleichungssystem soll gelöst werden. Lineare Gleichungssystem, wie dieses, löst man üblicherweise mit dem Gauß-Algorithmus. So ändern die folgenden Umformungen die Lösungen des Gleichungssystems nicht:
- Addieren des Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile
- Vertauschen von Zeilen
- Skalieren einer Zeile mit einem Skalar ungleich 0

Ziel ist es mit Hilfe dieser Umformungen das Gleichungssystem in eine möglichst einfache Form (Zeilenstufenform) zu bringen.

(\begin{matrix} - 4 - 2 & 3 \\ - 6 & 5 - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 6 & 3 \\ - 6 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Man subtrahiert (Addition mit dem (-1)-fachen) nun die erste Zeile von der zweiten Zeile, da man somit im Eintrag (zweite Zeile, erste Spalte) eine 0 erzeugen kann.

(\begin{matrix} - 6 & 3 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Nun befindet sich das Gleichungssystem bereits in Zeilenstufenform. Da die zweite Zeile eine Nullzeile ist (das Gleichungssystem ist unterbestimmt), kann man nun eine Variable frei wählen. Man kann also

v_{2}

frei wählen. Nun erhält man die Lösungen der übrigen Variable

v_{1}

in Abhängigkeit der frei wählbaren Variable

v_{2}

durch Rückwärts-EInsetzen. Betrachtet man die erste Zeile, so erhält man:

- 6 \cdot v_{1} + 3 \cdot v_{2} = 0 \Leftrightarrow v_{1} = \frac{1}{2} \cdot v_{2}

Daher ergibt sich für beliebige

v_{2}

erhält man also als Lösung des Gleichungssystems:

(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot v_{2} \\ v_{2} \end{matrix}) = v_{2} \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix})

Damit ist jedes Vielfache von

(\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix})

ein entsprechender Eigenvektor.

Somit hat man also die Eigenvektoren gefunden. Es folgen noch ein paar kleine Bemerkungen:

- -

Insbesondere kann man, wenn einem der Bruch nicht gefällt auch

v_{2} = r \cdot 2

wählen, so dass:

(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot v_{2} \\ v_{2} \end{matrix}) = r \cdot 2 \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

So kann man erkennen, dass die Lösungen mit denen aus meinem vorigen Beitrag übereinstimmen.

- -

Man hätte auch

v_{1}

frei wählen können, dann folgt aus der ersten Zeile:

- 6 \cdot v_{1} + 3 \cdot v_{2} = 0 \Leftrightarrow v_{2} = 2 \cdot v_{1}

Und somit:

(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} v_{1} \\ 2 \cdot v_{1} \end{matrix}) = v_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

- -

Da man ein homogenes Gleichungssystem hat, also rechts der Nullvektor steht, welcher sich durch die Umformungen nicht ändert, spart man sich häufig den Schreibaufwand und schreibt einfach:

(\begin{matrix} - 4 - 2 & 3 \\ - 6 & 5 - 2 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 6 & 3 \\ - 6 & 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 6 & 3 \\ 0 & 0 \end{matrix})

Nun kann man übrigens noch die erste Zeile mit

\frac{1}{3}

multiplizieren, um das Gleichungssystem noch etwas zu vereinfach:

(\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

Mit ein wenig Übung kann man nun direkt den Vektor

(1, 2)

als Lösung "erraten" und die Lösungen des Gleichungssystems direkt angeben. Wenn das nicht geligt oder man unsicher ist, kann man so weitermachen, wie zuvor gezeigt. Also Variable frei wählen, die übrige erste Zeile benutzen, um die übrige Variable durch die frei gewählte auszudrücken, Lösung angeben.

anonymous

13:20 Uhr, 21.06.2014

Edit: Sorry, der Beitrag wurde wohl zweimal angezeigt.

Maxim123 aktiv_icon

13:47 Uhr, 21.06.2014

Wenn wir das richtig verstanden haben, gibt es für die Eigenvektoren mehrere Werte?

D . h

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

v_{1} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})

v_{1} = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \end{matrix})

. .

.

??

anonymous

13:58 Uhr, 21.06.2014

Genau, die Eigenvektoren zu einem Eigenwert

λ

bilden einen Untervektorraum, den so genannten Eigenraum zum Eigenwert

λ

.

In diesem Fall ist das der eindimensionale Untervektorraum, der von

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

bzw.

(\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix})

aufgespannt wird. Daher sind, wie bereits angemerkt

r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

für beliebige

r

im Körper Eigenvektor zum Eigenwert 2. Also

z

. B. auch die von dir genannten, richtig.

Da der Körper hier wohl

ℝ

ist, sind

z

. B. auch

\sqrt{2} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 2 \sqrt{2} \end{matrix})

oder

(- 1) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix})

entsprechende Eigenvektoren.

Stephan4

13:58 Uhr, 21.06.2014

Ja, das entspricht ja der Definition, die kenkyu anfangs stehen hat, bevor er/sie sich die Finger wund geschrieben hat, um etwas zu erklären, was du auch lesen solltest.

Maxim123 aktiv_icon

14:00 Uhr, 21.06.2014

Vielen Dank ! :-D)

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