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Eigenvektoren und Koeffizienten berechnen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

anonymous

22:21 Uhr, 26.01.2015

Hallo Community,
melde mich hier mit der Hoffnung, das mir einer weiterhelfen kann bei meiner Aufgabe. (unten zu sehen)
Ich habe ein paar Fragen zur Aufgabe

2 . a

und

2 . c

Zunächst einmal zur

2 . c

und was ich bereits gemacht habe.

Ich muss ja die Menge der Eigenvektoren zu den Eigenwerten λj von A bzw. λ′j von

B

fu ̈r

j = 1, 2, 3

berechnen.
Was ist mit der Menge gemeint, bzw. wie macht man das?

Ich hab da folgendes:

Charak. Polynom für die Matrix A mit den Eigenwerten:
-λ^3+7λ^2-11λ+5

sind

- 1,7, - 11

und 5 die Koeffizienten, nach denen in Aufgabe

2 . a

gefragt werden?

Eigenwerte : λ1

= 1;

λ2=1; λ3=5

Chark. Polynom für die Matrix

B

mit den Eigenwerten:
-λ^3-4λ^2+4λ+16

Eigenwerte: λ1=2 ; λ2=-4; λ3=-2

So das brauche ich ja um die Eigenvektoren zu berechnen oder?

Da habe ich was, aber ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll..

und zwar für Matrix

A :

λ1

= 1

A -λE=

(112); (112); (112); < - - - -

Das soll eine

3 x 3

Matrix sein

(A-λE)X=0

- \to

Gauß-Verfahren angewendet

(112 | 0); (000 | 0); (000 | 0)

Als Eigenvektor hab ich jetzt:

X = (- x 2 - 2 x 3); (x 2); (x 3) < - - -

Als Vektor vorstellen... links nach rechst= oben nach unten

Stimmt das?

Hoff einer kann helfen :-)

Danke!

Grüße pauly1992

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

10:24 Uhr, 27.01.2015

"Was ist mit der Menge gemeint, bzw. wie macht man das?"

Mit Menge ist hier, wie sonst meist auch, eine Zusammenfassung von mehreren Elementen zu einer Menge gemeint. Wenn du also zu einem Eigenwert die Eigenvektoren

v_{1}, v_{2}, v_{3}

und

v_{4}

erhalten würdest, dann wäre hier nach der Menge

{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}

gefragt.

Es gibt nämlich zu einem Eigenwert

λ

nicht nur einen einzigen Eigenvektor, sondern unendlich viele Eigenvektoren (solange man sich nicht über einem endlichen Körper befindet), die einen ganzen Untervektorraum bilden.

- -

Das charakteristische Polynom zu

A

ist richtig.

Ja,

a_{0} = 5

und

a_{1} = - 11

und

a_{2} = 7

und

a_{3} = - 1

sind die Koeffizienten, nach denen gefragt wurde.

Die Eigenwerte von

A

passen auch.
Das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von

B

sind auch richtig.

- -

Beim Berechnen der Eigenvektoren von

A

zum Eigenwert

λ_{1} = λ_{2} = 1

bist du richtig vorgegangen. Aber du bist noch nicht ganz fertig. Da ja nach einer MENGE von Eigenvektoren gefragt ist. Du musst das Ergebnis also noch kurz ordentlich aufschreiben.

Für jedes Paar von Werten

x_{2}, x_{3}

im Körper (hier

ℝ)

erhälst du nun einen Eigenvektor

(\begin{matrix} - x_{2} - 2 x_{3} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

von

A

zum Eigenwert 1.

Das heißt die Menge aller Eigenvektoren von

A

zum Eigenwert

λ_{1} = λ_{2} = 1

ist dann:

M_{1} := {(\begin{matrix} - x_{2} - 2 x_{3} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \in ℝ^{3} | x_{2}, x_{3} \in ℝ}

Bzw. da man

(\begin{matrix} - x_{2} - 2 x_{3} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = x_{2} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + x_{3} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

schreiben kann. Kann man auch folgende üblichen Notationen verwenden, wenn man möchte:
(Das muss man aber nicht.)

M_{1} = {x_{2} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + x_{3} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \in ℝ^{3} | x_{2}, x_{3} \in ℝ}

M_{1} = ℝ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + ℝ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

M_{1} = 〈 {(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})} 〉

anonymous

12:17 Uhr, 27.01.2015

Vielen Dank für die Erklärung!!
Ich konnte die komplette Aufgabe lösen. :-)

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