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Eigenvektormatrix Eigenvektor Eigenwert

Universität / Fachhochschule

Tags: Diagonalmatrix, Eigenvektor, Eigenwert

filib aktiv_icon

16:25 Uhr, 02.01.2013

Hi liebes Mathe online Team,
Habe eine Frage zu volgender AUfgabenstellung:
Wenn eine quadratische Matrix A nur verschiedene Eigenwerte hat, und

T

die Eigenvektormatrix
ist, dann ist

T^{- 1}

AT eine Diagonalmatrix.
Soweit so gut, ein Beispiel wäre.

A =

14

23

dazu rechne ich mir dann eigenwerte und eigenvektor aus also

- 1; 5

und für

- 1 (- 21)

und für

5 (11)

Erste Frage, wie erstelle ich daraus die Eigenvektormatrix? schreibe ich das einfach in die Spalten also zuerst das ergebnis

- 21

in die erste Spalte und dnan das Ergebnis

11

in die Zweite?
Oder wie genau erstell ich eine Eigenvektormatrix?
Dann das inverse

- \frac{1}{3} \frac{1}{3}

\frac{1}{3} \frac{2}{3}

dann das ganze Multipliziert mit dem Produkt AT
Und da kommt mir jetzt aber raus:

14

23

was doch keine diagonalmatrix ist? Wo ist mein Fehler? bin für jede Hilfe dankbar!
Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Gerd30.1 aktiv_icon

18:03 Uhr, 02.01.2013

Da sind mehrere Rechenfehler:
Die Transformationsmatrix ist

T = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 0,5 \end{matrix})

mit den Eigenvektoren als Spaltenvektoren

T^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \end{matrix})

Damit müsste

T^{- 1} \cdot A \cdot T = (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \end{matrix})

sein. Rechne bitte nach!!

filib aktiv_icon

22:10 Uhr, 02.01.2013

Aber steht

T

hier nicht einfach nur als Bezeichnung für die Eigenvektormatrix, und die würde doch aus den Eigenvektoren

(- 2 | 1

)für dne Eigenwert

- 1

und

(1 | 1)

für den Eigenwert 5 gebildet werden odeR?

Wenn dem nicht so ist wie kommst du auf Transformationsmatrix? und wie berechne ich die? geht finde ich aus der Angabe nicht heraus das es sich hier um eine Transformationsmatrix handelt..
Und ist
5
1
eine Diagonalmatrix? Diese muss doch alle elemente außer der diagonale 0 haben. Das ist hier doch nicht der fall.
Sorry wirft noch ein paar Fragen auf deine Antwort! Aber danke trotzdem! ;-)
Lg

filib aktiv_icon

01:24 Uhr, 03.01.2013

Sorry für den Doppelpost, abver meine Frage denke ich hat sich erübrigt.
Ich habe nur den Fehler gemacht bei T^-1*AT zuerst AT zu rechnen und dann das mit

T^{- 1}

zu multiplizieren.
wenn ich mit meinen Werten das normal von links nach rechts mache komme ich auf das Ergebnis was du geliefert hast also auf:

- 10

05

Danke für die Hilfe (Trotzdem würde mich noch interessieren was du mit transformationsmatrix oder so gemeint hast da ich diese ja meines erachtens nach gar nicht verwendet habe und trotzdem auf das richtige ergebnis komme!?
lg

Gerd30.1 aktiv_icon

09:23 Uhr, 03.01.2013

Ich habe die Eigenwerte und -vektoren berechnet

\Rightarrow T

Die Diagonalmatrix muss natürlich

(\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

sein!!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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