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Eigenwert = 0 ? Dann Eigenraum von 0 = Kern ?

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Tags: Eigenwert, Kern, Vektorraum

Meeresgott aktiv_icon

15:42 Uhr, 04.09.2019

Hallo,

ich habe folgende These, wenn ich einen Eigenwert von einer Matrix A berechne und einer der Eigenwerte 0 ist, ich dann zu diesem Eigenwert den Eigenraum berechne ist dieser identisch mit dem Kern von A.

Ich habe es bei mehren Matrizen ausprobiert und es scheint zu stimmen. Hier ist ein Beispiel:

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

E_{A} (0) = {t \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | t \in R}

Kern(A)

= {t \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | t \in R}

Ist das nur Zufall, dass Kern und Eigenraum von A identisch sind ?

Beim Kern wird ja eine Menge von Eingabe Vektoren gesucht, die den Ursprung ergeben.

Bei den Eigenwerten wird das Skalar von den Vektoren gesucht, dessen Richtung sich nicht durch die Multiplikation mit der Matrix verändern.

Wenn dieses Skalar 0 ist kommt immer der Ursprung raus. Für mich macht es alles Sinn aber bevor ich mich auf diese These verlasse würde ich euch gerne Fragen was Ihr von dieser haltet ? Es könnte ja auch sein, dass der Eigenraum von 0 nur eine Teilmenge von dem Kern(A) ist ?

Viele Grüße,
Meeresgott