Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Eigenwert

Eigenwert

Universität / Fachhochschule

Tags: orthogonalität

anonymous

15:35 Uhr, 12.01.2022

Hallo,
Wenn

U

senkrecht auf dem Kern(

A^{t} \cdot A)

steht, warum kann der EW dann nicht 0 sein?

Siehe Foto.

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DrBoogie aktiv_icon

15:50 Uhr, 12.01.2022

Wenn

A^{t} A

eingeschränkt auf

U

einen EW

0

hat, dann hat sie dort einen entsprechenden Eigenvektor. Also einen Vektor

v \neq 0

aus

U

, so dass

A^{t} A v = 0

. Damit liegt aber

v

in Kern von

A^{t} A

. Das geht aber nicht, denn Kern von

A^{t} A

und

U

haben keine gemeinsame Vektoren außer

0

anonymous

15:59 Uhr, 12.01.2022

Hallo, danke für deine Antwort.

Warum haben der Kern(

A^{t} \cdot A)

und das Bild

(A^{t})

denn keine gemeinsamen Elemente außer die 0?

Wahrscheinlich ist es eine echt blöde Frage :-D)

anonymous

16:06 Uhr, 12.01.2022

Okay sorry,

das kann man doch einfach wie folgt begründen:

Wenn

v

Element von Bild(

A^{t})

und

v

ist Element von Kern

(A^{t} \cdot A)

- \to < v, v > = 0

(auf Grund der Orthogonalität) und damit

v = 0,

richtig??

DrBoogie aktiv_icon

16:21 Uhr, 12.01.2022

Ja, richtig

anonymous

16:23 Uhr, 12.01.2022

Eine weitere Frage zu diesem Beweis:

Warum hat

B

genau die EW 1-w*Lamdak ?

Woran erenne ich das?

DrBoogie aktiv_icon

16:32 Uhr, 12.01.2022

Schreib auf, was es bedeutet, dass

v

ein Eigenvektor von

B

ist zum EW

λ

. Dann wirst sehen, es ist recht einfach.

anonymous

16:46 Uhr, 12.01.2022

Okay, also an der Stelle komme ich irgendwie nicht weiter.... (siehe Foto)

DrBoogie aktiv_icon

18:50 Uhr, 12.01.2022

Na, du bist eigentlich schon da, schade, dass du es nicht siehst.

v - ω A^{t} A v = λ v

<=>

ω A^{t} A v = (1 - λ) v

<=>

A^{t} A v = \frac{1 - λ}{ω} v

.
Also wenn

λ

ein EW von

B

genau dann wenn

\frac{1 - λ}{ω}

ein EW von

A^{t} A

ist.

Für die Stelle im Satz wäre aber etwas einfacher von der anderen Seite anzufangen:
sei

λ

ein EW von

A^{t} A

, dann haben

A^{t} A v = λ v

<=>

(I - ω A^{t} A) v = v - ω A^{t} A v = v - ω λ v = (1 - ω λ) v

,
also ist

1 - ω λ

genau dann ein EW von

B

wenn

λ

ein EW von

A^{t} A

ist.

anonymous

08:08 Uhr, 13.01.2022

Okay, danke!

Nun ist es offensichtlich.

Allerdings bleibt für mich der letzte Satz, das die lamda

k' s \in (- 1,1)

liegen unklar. Wie kommen die genau auf das Intervall?

w

wurde ja definiert als

0 < w < (\frac{2}{| | A | |} 2 | |) = 0 < w <

2/(maxlamdak)....

DrBoogie aktiv_icon

09:41 Uhr, 13.01.2022

Dazu muss ich wissen, was

ρ (B)

ist.

anonymous

12:04 Uhr, 13.01.2022

ρ (B) =

der betragsmaximale Eigenwert von Matrix

B

Liebe Grüße

DrBoogie aktiv_icon

19:05 Uhr, 13.01.2022

Zuerst mal, der Beweis ist schlampig. Wie schon so oft bei den Beweisen, die du postest. Ich weiß nicht, was für Buch es ist, aber es ist einfach schlecht.

Z.B. die Behauptung, dass

λ_{k} \in (- 1, 1)

gilt, ist irreführend. Denn sie können nicht negativ sein, also richtig wäre

λ_{k} \in [0, 1)

.
Der Beweis dafür, dass sie nicht negativ sein können:

λ_{k}

ist ein EW von

A^{t} A

, also existiert ein

v \neq 0

mit

A^{t} A v = λ_{k} v

〈 A^{t} A v, v 〉 = λ_{k} 〈 v, v 〉 = λ_{k} ∥ v ∥^{2}

. Aber

〈 A^{t} A v, v 〉

ist

〈 A v, A v 〉 = ∥ A v ∥^{2}

, also

λ_{k} = ∥ A v ∥^{2} / ∥ v ∥^{2} \geq 0

.

Zurück zu deiner Frage. Auch hier ist ein Fehler im Beweis. Sogar ein ganz krasser. Man kann gar nicht beweisen, dass

λ_{k}

(- 1, 1)

liegen. Das muss nicht stimmen. Es würde auch nicht helfen, wenn es stimmen würde. Denn du musst zeigen, dass

ρ (B) < 1

, also musst du zeigen, dass die EW von

B

(- 1, 1)

liegen, nicht die EW von

A^{t} A

!
Also zu zeigen ist, dass

1 - ω λ_{k} \in (- 1, 1)

und das geht so:

λ_{k} \leq max λ_{k} = ∥ A ∥^{2}

ω λ_{k} \leq ω ∥ A ∥^{2} < 2

nach Voraussetzung über

ω

. Andererseits wie gesagt,

ω λ_{k} > 0

(oben habe ich gezeigt, dass

λ_{k}

nichtnegativ sind und im Beweis zeigt man, dass

0

auch ausgeschlossen ist).
Also,

0 < ω λ_{k} < 2

- 1 < 1 - ω λ_{k} < 1

. Und das bedeutet, dass

ρ (B) < 1

.

Es tut mir leid für dich, dass du so schlecht geschriebene Beweise lernen musst.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1549392

1549204

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?