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Eigenwert einer Unipotenten Matrix
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Eigenwert, Matrix, Unipotent
 
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Hey, ich sitze jetzt schon an eine meiner Aufgaben. Und zwar soll ich beweisen, dass 1 der einzige Eigenwert einer unipotenten Matrix sein kann. Ich hab bereits bewiesen, dass der einzige Eigenwert einer nilpotenten Matrix die 0 ist und somit auch den Eigenwert 0 hat. Nun fällt mir aber absolut kein Ansatz ein wie ich beweisen könnte, dass A nur den Eigenwert 1 haben kann. Ich würde mich sehr über ein paar Tipps oder andere Hilfen freuen! Vielen Dank schonmal |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, was wisst ihr über die Zusammenhänge über zwischen Eigenwerten, charakteristischem Polynom und Minimalpolynom einer Matrix? Mfg Michael |
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Hallo zusammen! Es geht auch völlig elementar. Krautsultan war schon auf der richtigen Spur (wenn auch nicht ganz korrekt formuliert). Zu zeigen ist anscheinend: Für jeden Körper , für jedes und jede unipotente -Matrix gilt: Jeder Eigenwert von erfüllt . Seien also ein Körper , ein und eine unipotente -Matrix sowie ein Eigenwert von beliebig vorgegeben. Zu zeigen ist . Da unipotent ist, ist nilpotent (wobei die -Einheitsmatrix über bezeichne). Somit erfüllt jeder Eigenwert von nach dem, was Krautsultan offenbar schon gezeigt hat, die Bedingung . Dass Eigenwert von ist, bedeutet: Es existiert ein Vektor mit . Berechne nun ! Viele Grüße Tobias |
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Hey, danke für den Tipp! entspricht ja . Also müsste gelten. Auf diese Art beweise ich jedoch nur wieder, dass den Eigenwert 0 hat. Da von 0 verschieden sein muss, muss ja gelten, dass , damit der Eigenwert von ist. Die Einheitsmatrix erfüllt diese Anforderung natürlich und hat auch den Eigenwert 1, nur weiß ich nicht so wirklich, wie ich das für den allgemeinen Fall beweisen soll |
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" (A-I)v entspricht ja Av-v. " Ja. Und , also . Also ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert . ist nilpotent, also kann der Eigenwert nur was für einer sein? " Also müsste Amv-v=λmv gelten." Was meinst du mit m? (Für jede natürliche Zahl kann man sich induktiv und damit überlegen, aber ich sehe nicht, dass uns das weiterhilft.) " Auf diese Art beweise ich jedoch nur wieder, dass A-I den Eigenwert 0 hat. " (Wie das?) Ich dachte, die von dir schon bewiesene Aussage lautet, dass jeder Eigenwert jeder nilpotenten Matrix stets ist. Oder hast du umgekehrt gezeigt, dass ein Eigenwert jeder nilpotenten Matrix (außer der -Matrix) ist? Oder beides? " Da v von 0 verschieden sein muss, muss ja gelten, dass Av=v, damit der Eigenwert von A-I=0 ist. " (Wenn du tatsächlich zeigen könntest, wärst du fast fertig: Dann wäre und damit wegen wie gewünscht .) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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