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Eigenwert einer linearen Abbildung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Lineare Abbildungen

Tags: Eigenwert, Linear Abbildung

Blackparrot aktiv_icon

11:22 Uhr, 19.06.2017

Hallo zusammen,

Ich würde gerne die Eigenwerte von folgender linearer Abbildung bestimmen:

f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

mit

f (w) = v x w

für jedes

v

out

ℝ^{3}

{

0}
(das soll ein Kreuzprodukt sein:

v

Kreuz

w)

Meine Idee:
Ich bilde zuerst eine Darstellungsmatrix von

f

bzgl. Einer beliebigen Basis (ich nehme hier die Standardbasis des

ℝ^{3}) :

f (e_{1}) = (0, - v_{3}, v_{2}) = - v_{3} \cdot e_{2} + v_{2} \cdot e_{3}

f (e_{2}) = (v_{3}, 0, - v_{1}) = v_{3} \cdot e_{1} - v_{1} \cdot e_{3}

f (e_{3}) = (- v_{2}, v_{1}, 0) = - v_{2} \cdot e_{1} + v_{1} \cdot e_{3}

Also ist die Darstellungsmatrix

A = (\begin{matrix} 0 & v_{3} & - v_{2} \\ - v_{3} & 0 & v_{1} \\ v_{2} & - v_{1} & 0 \end{matrix})

Nun muss gelten:

A \cdot w = t \cdot w

\to det (t \cdot E_{3} - A) = 0

det (t \cdot E_{3} - A) = t (t^{2} + (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}))

Dieses charakteristische Polynom setze ich gleich Null:

t (t^{2} + (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2})) = 0 \Leftrightarrow t_{1} = 0

t^{2} + (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}) = 0 \Leftrightarrow t_{2,3} =

i \cdot \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}

Also habe ich drei Eigenwerte: Ein reeller

(0)

und zwei imaginäre. Soweit ich aber weiß, sollten hier nur reelle und keine komplexen Eigenwerte rauskommen (nach der Definition der Abbildung)…

Sieht jemand, wo ich den Fehler gemacht habe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

12:04 Uhr, 19.06.2017

Hallo
was genau ist denn die Aufgabe?
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf

v

und

w

. kann es da einen Vektor von

v \times w

geben der die Richtung von

w

hat, also einen reellen Eigenwert

\neq 0

?
Gruß ledum

pwmeyer aktiv_icon

12:06 Uhr, 19.06.2017

Hallo,

eine Matrix mit reellen Einträgen kann durchaus komplexe Eigenwerte haben.

Im übrigen kannst Du die Eigenwertfrage hier "direkt" klären:

f (w) = v \times w = λ \cdot w

- Was ist, wenn

w = v

?
- Welche geometrische Eigenschaft hat

v \times w,

wenn

v \neq w

?

Gruß pwm

Blackparrot aktiv_icon

12:19 Uhr, 19.06.2017

Hallo ledum, hallo pwmeyer,

jetzt wo ihr es sagst, ist mir natürlich klar, dass der einzige Eigenwert

t = 0

sein muss, da ja

A \cdot w = t \cdot w

nur eine Streckung des Vektors

w

um den Faktor

t

darstellt und - wie ihr gesagt habt - das Kreuzprodukt den orthogonalen Vektor zu

w

und

v

ergibt...

Wenn

w = v

ist

v

Kreuz

w = 0

Ebenso gilt:

w

Kreuz

v = 0

falls

w = a \cdot v

und a aus

ℝ

ist.

Die genaue Aufgabenstellung lautet:

Bestimme alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume.

Den ersten Teil kann ich jetzt also beantworten: Die Abbildung besitzt nur den Eigenwert

t = 0

.

Den Eigenraum haben wir so definiert:

N_{t} = {w \in ℝ^{3} | (t \cdot E_{3} - A) \cdot w = 0)}

Ich muss also folgendes LGS lösen:

(t \cdot E_{3} - A) \cdot w = 0

t = 0

folgt:

(t \cdot E_{3} - A) \cdot w = (- A) \cdot w = (\begin{matrix} 0 & - v_{3} & v_{2} \\ v_{3} & 0 & - v_{1} \\ - v_{2} & v_{1} & 0 \end{matrix}) \cdot w = 0

Es gilt ja aber:

(- A) \cdot w = - (A \cdot w) = - (t \cdot w) = 0

t = 0

folgt:

- (0 \cdot w) = 0 \Leftrightarrow 0 = 0

für alle

w

out

ℝ^{3}

. Und damit ist das ja auch unabhängig von Vektor

v

.

Der Eigenraum zum Eigenwert

t = 0

ist also:

N_{t} = {w \in ℝ^{3} | (t \cdot E_{3} - A) \cdot w = 0)} = {w | w \in ℝ^{3}}

Ist meine Idee richtig? Und falls ja, darf ich auch so argumentieren?

ledum aktiv_icon

13:13 Uhr, 19.06.2017

Hallo
für den Eigenraum darfst du nicht einfach die Definition hinschreiben, sonder den bzw. die konkreten Vektoren aus

ℝ^{3},

hier sehr einfach
Gruß ledum

Blackparrot aktiv_icon

13:20 Uhr, 19.06.2017

Habe ich das nicht gemacht?

N_{0} = {w | w \in ℝ^{3}}

Denn der Eigenraum vom Eigenwert

t = 0

besteht doch aus alle Vektoren des

ℝ^{3},

oder habe ich mich da verrechnet?

ledum aktiv_icon

17:43 Uhr, 19.06.2017

Hallo
ich dachte gerade du hättest angesehen, dass es nur den 0 Vektor gibt, der EV ist, denn

v \times w = 0

nur für

w = 0

Gruß ledum

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