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Eigenwert ohne Rechnen bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Matrix

jenny853 aktiv_icon

21:28 Uhr, 17.06.2011

Hallo zusammen :)

Ich hab folgende Matrix gegeben:

0	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	2	2	2	2	2
3	3	2	3	3	3	3	3
4	4	4	3	4	4	4	4
5	5	5	5	4	5	5	5
6	6	6	6	6	5	6	6
7	7	7	7	7	7	6	7
8	8	8	8	8	8	8	7

a)Bestimmen Sie einen Eigenwert ohne zu Rechnen

b) Bestimme zu diesen EW den Eigenraum

c) Berechnen Sie die übrigen EW

zu a)

ich war schon so unverschämt und hab mal die eigenwerte im Internet mit einem Rechner ausrechnen lassen :D (sicherheitshalber)

dabei hab ich die Eigenwerte -1 (mit der Vielfachheit 7) und 35 erhalten.

Jetzt hab ich durch probieren herausgefunden, dass wenn man in einer Spalte alles zusammen zählt sich 35 ergibt (was ja auch ein EW ist) und das ergibt sich für jede Spalte

aber wie kann ich das mathematisch korrekt bestimmen ohne zu Rechnen? :(

zu b)

Ich weiß ja wie ich Eigenräume bestimmen muss (zuerst EV berechnen und dann kann ich eben den ER bestimmen) aber wie soll das ohne rechnen gehn -.- da wird man ja alt :/

zu c)

wie soll ich bei einer 8x8 Matrix einfach so die EW berechnen ohne dass ich auch einen Fehler mach?!

Ich wäre euch mehr als dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet :)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

loopy aktiv_icon

22:05 Uhr, 17.06.2011

Die Eigenwerte der

8 \times 8

-Matrix kann man mithilfe des Entwicklungssatzes nach Zeile oder Spalte berechnen.
Aber das ist mit viel Geduld und Zeit verbunden.

loopy aktiv_icon

22:06 Uhr, 17.06.2011

Die Eigenwerte der

8 \times 8

-Matrix kann man mithilfe des Entwicklungssatzes nach Zeile oder Spalte berechnen.
Aber das ist mit viel Geduld und Zeit verbunden.

jenny853 aktiv_icon

22:11 Uhr, 17.06.2011

danke so wäre ich auch vorgegangen bei der c) wenn es keine 8x8 Matrix wäre... -.- hab jetzt schon sechs Stunden mit dieser Aufgabe verbracht und was gescheites kam nicht heraus :(

loopy aktiv_icon

22:14 Uhr, 17.06.2011

Ich werde mal versuchen, die Eigenwerte der

8 \times 8

-Matrix zu bestimmen.

Möchtest du dazu auch die Zwischenschritte?

jenny853 aktiv_icon

22:24 Uhr, 17.06.2011

das ist aber nett! :)

aber das muss wirklich nicht sein!! denn das werde ich hoffentlich irgendwann herausbekommen. ich lasse es einfach in maple mal raus

jenny853 aktiv_icon

22:58 Uhr, 17.06.2011

Also die EW lauten (wie am Anfang schon :) )

(35, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1)

loopy aktiv_icon

23:01 Uhr, 17.06.2011

noch die

8 \times 8

-Matrix per Hand gerechnet? =)

Yokozuna aktiv_icon

23:05 Uhr, 17.06.2011

Hallo,

ich denke, zumindest bei

a)

und

b)

kann ich Dir helfen.
Sei A Deine Matrix (ich erspare mir, die hier noch mal abzuschreiben) und sei

λ

ein Eigenwert der Matrix und

\vec{v} = {(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}, v_{6}, v_{7}, v_{8})}^{T}

ein zugehöriger Eigenvektor, dann muß ja gelten

A \cdot \vec{v} = λ \cdot \vec{v}

Wenn man die Matrix genau anschaut, sind in der k-ten Zeile alle Elemente gleich

k,

außer dem Element auf der Hauptdiagonalen, das

k - 1

beträgt. Multiplizieren wir mal den Eigenvektor mit der 1. Zeile, dann erhalte ich

0 \cdot v_{1} + v_{2} + v_{3} + . .

+ v_{8} = \sum_{n = 1}^{8} v_{i} - v_{1}

Bei der k-ten Zeile erhalte ich

k \cdot \sum_{n = 1}^{8} v_{i} - v_{k}

Zusammen mit der rechten Seite

λ \cdot \vec{v}

erhalte ich folgendes Gleichungssystem, wobei ich zur Abkürzung

s := \sum_{n = 1}^{8} v_{i}

setze:

s - v_{1} = λ \cdot v_{1}

2 \cdot s - v_{2} = λ \cdot v_{2}

3 \cdot s - v_{3} = λ \cdot v_{3}

4 \cdot s - v_{4} = λ \cdot v_{4}

5 \cdot s - v_{5} = λ \cdot v_{5}

6 \cdot s - v_{6} = λ \cdot v_{6}

7 \cdot s - v_{7} = λ \cdot v_{7}

8 \cdot s - v_{8} = λ \cdot v_{8}

\Rightarrow

s = λ \cdot v_{1} + v_{1} = v_{1} \cdot (λ + 1)

2 \cdot s = λ \cdot v_{2} + v_{2} = v_{2} \cdot (λ + 1)

3 \cdot s = λ \cdot v_{3} + v_{3} = v_{3} \cdot (λ + 1)

4 \cdot s = λ \cdot v_{4} + v_{4} = v_{4} \cdot (λ + 1)

5 \cdot s = λ \cdot v_{5} + v_{5} = v_{5} \cdot (λ + 1)

6 \cdot s = λ \cdot v_{6} + v_{6} = v_{6} \cdot (λ + 1)

7 \cdot s = λ \cdot v_{7} + v_{7} = v_{7} \cdot (λ + 1)

8 \cdot s = λ \cdot v_{8} + v_{8} = v_{8} \cdot (λ + 1)

\Rightarrow

s = v_{1} \cdot (λ + 1)

s = \frac{1}{2} \cdot v_{2} \cdot (λ + 1)

s = \frac{1}{3} \cdot v_{3} \cdot (λ + 1)

s = \frac{1}{4} \cdot v_{4} \cdot (λ + 1)

s = \frac{1}{5} \cdot v_{5} \cdot (λ + 1)

s = \frac{1}{6} \cdot v_{6} \cdot (λ + 1)

s = \frac{1}{7} \cdot v_{7} \cdot (λ + 1)

s = \frac{1}{8} \cdot v_{8} \cdot (λ + 1)

\Rightarrow

\frac{s}{λ + 1} = v_{1}

\frac{s}{λ + 1} = \frac{1}{2} \cdot v_{2}

\frac{s}{λ + 1} = \frac{1}{3} \cdot v_{3}

\frac{s}{λ + 1} = \frac{1}{4} \cdot v_{4}

\frac{s}{λ + 1} = \frac{1}{5} \cdot v_{5}

\frac{s}{λ + 1} = \frac{1}{6} \cdot v_{6}

\frac{s}{λ + 1} = \frac{1}{7} \cdot v_{7}

\frac{s}{λ + 1} = \frac{1}{8} \cdot v_{8}

Auf der linken Seite steht immer die gleiche Zahl, deshalb müssen die rechten Seiten einander gleich sein:

v_{1} = \frac{1}{2} \cdot v_{2} = \frac{1}{3} \cdot v_{3} = . .

= \frac{1}{8} \cdot v_{8}

Dadurch kann man die

v_{2}

bis

v_{8} z . B

. durch

v_{1}

ausdrücken:

v_{2} = 2 \cdot v_{1}, v_{3} = 3 \cdot v_{1}, ..., v_{8} = 8 \cdot v_{1}

Damit ist

s = v_{1} + 2 \cdot v_{1} + 3 \cdot v_{1} + . .

+ 8 \cdot v_{1} = 36 \cdot v_{1}

Aus

s = 36 \cdot v_{1} = v_{1} \cdot (λ + 1)

folgt:

36 = λ + 1 \Rightarrow λ = 35

Der zugehörige Eigenraum wird aufgespannt von

{(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)}^{T}

Viele Grüße
Yokozuna

jenny853 aktiv_icon

23:06 Uhr, 17.06.2011

mich macht die aufgabe a vorallem irre weil da soll ich ja eben NICHT nachrechnen was der EW ist :( weil wenn ich ja den einen hab kann ich ja die andere soweit bestimmen bis ich das ergebnis erhalte aber wie bestimme ich einen EW ohne zu rechnen? von dem her interessieren mich die EW im momemt an sich nicht so wirklich^^

jenny853 aktiv_icon

23:11 Uhr, 17.06.2011

Ah ok ja das klingt sehr einleuchtend! Ok das hilft mir grad sehr weiter dankeschön!

Dann müsste die c) eventuell auch klappen ohne ewiges herumrechnen ^^

danke euch beiden :)

Yokozuna aktiv_icon

23:47 Uhr, 17.06.2011

Vielleicht hilft zum Teil

c)

noch folgende Idee weiter:
Ich schreibe

A \cdot \vec{v} = λ \cdot \vec{v}

als

(A - λ \cdot E) \cdot \vec{v} = 0

E

ist die Einheitsmatrix. Wenn es einen Vektor

\vec{v} \neq 0

geben soll (ein Eigenvektor muß ja ungleich Null sein), der dieses Gleichungssystem erfüllt, dann muß

det (A - λ \cdot E) = 0

sein. Die Determinante ist dann gleich

0,

wenn mindestens zwei der Zeilen linear abhängig sind. Dies ist bei dieser Matrix

z . B

. dann der Fall, wenn

z . B

. alle Elemente der Zeile

i

den Wert

i

haben und alle Elemente der Zeile

k

den Wert

k

. Für alle Werte außer den Diagonalelementen ist ja diese Bedingung bereits erfüllt. Das Diagonalelement der Zeile

i

lautet

i - 1 - λ

und das von der Zeile

k

entsprechend

k - 1 - λ

. Wir wählen

λ

so, daß

i - 1 - λ = i

und

k - 1 - λ = k

ist. Aber aus beiden Gleichungen folgt sofort

λ = - 1

.
Für

λ = - 1

sind also alle Zeilen der Matrix

A - λ \cdot E = A - (- 1) \cdot E = A + E

paarweise linear abhängig.

Viele Grüße
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

04:15 Uhr, 18.06.2011

Auf den Eigenwert

λ = - 1

kann man eigentlich schon in meiner 1. Antwort kommen. Die war insofern nicht ganz vollständig. Die Überlegungen dort gelten ja für alle Eigenwerte

λ

. Ich habe irgendwann mal durch

(λ + 1)

dividiert. Hier muß man eigentlich eine Fallunterscheidung machen, denn durch

(λ + 1)

darf man nur dividieren, falls

(λ + 1) \neq 0

ist.
Also 1. Fall:

(λ + 1) \neq 0

Daraus folgt dann, wie oben ausgeführt

λ = 35

2.Fall:

(λ + 1) = 0, d . h ., λ = - 1

In diesem Fall hat man 8 identische Gleichungen

s = \sum_{n = 1}^{8} v_{n} = 0

D . h .,

jeder Vektor

\vec{v},

der die Bedingung

\sum_{n = 1}^{8} v_{n} = 0

erfüllt, Ist Eigenvektor zum Eigenwert

λ = - 1

Viele Grüße
Yokozuna

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