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Eigenwert und Eigenraum in F2

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Eigenraum, Eigenwert, polynom

 
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illow

illow aktiv_icon

15:03 Uhr, 07.06.2018

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Hallo,

habe eine Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob ich die so richtig gelöst habe.

Es ist folgende Matrix gegeben

111
010
010

Ich soll nun das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume bestimmen.
Das alles in F2.

Leider habe ich beim Rechnen in F2 noch nicht ganz die Sicherheit.
Hab jetzt alles mal durchgerechnet und vielleicht kann ja einer nochmal drüber schauen, ob das so richtig ist.
Hab es jeweils für F2 und für R gemacht.


Für das Polynom habe ich x3-x2-x2+x∈R
also x3-2x2+x

In F2 müsste da ja jetzt eigentlich x3+x2+x2+x stehen. Und x2+x2 sollte ja eigentlich =0 sein, da 1+1=0 und 0+0=0
Also x3+x

Nullstelle/Eigenwert wär dann für reele Zahlen x1=0,x2=1,x3=1

Und für F2 bin ich mir jetzt nicht wirklich sicher.

Wenn man es ausschreibt wäre es ja 1⋅1⋅1+1=0 also Nullstelle bei 1
und 0⋅0⋅0+0=0 also Nullstelle bei 0.

Eigenräume für reele Zahlen spare ich mir an diesem Punkt und gehe gleich zu F2


da 1-1=1+1=0 ist und -1=1 kommt dieses LGS raus für x1=1

0a+b+c=0
0a+0b+0c=0
0a+b+c=0

Es folgt

b+c=0
b=-c
a=0

Eigenraum wäre jetzt (0,1,1) für x1=1

LGS für x2=0

a+b+c=0
0a+b+0c=0
0a+b+0c=0


b=0
a=-c
a+c=0

Eigenraum wäre (1,0,1) für x2=0











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korbinian

korbinian aktiv_icon

10:10 Uhr, 08.06.2018

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Hallo,

beim der Berechnung der Eigenvektoren zum Eigenwert 1 ist dir ein Fehler unterlaufen:
du behauptest a=0. Aber die Koeffizienten von a sind doch in jeder der 3 Gleichungen 0.
Also kann a beliebig gesetzt werden.
Sonst sehe ich keinen Fehler
gruß
korbinian
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