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Eigenwerte

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Tags: dimension

 
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anonymous

anonymous

08:25 Uhr, 23.01.2022

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Hallo,
Es sei At⋅A eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix, die eine Orthonormalbasis aus EV v1,v...,vn zu den EW Λ1,Λ2... Λn besitzt, die ≥0.

Die Dimension der Kern (At⋅A) soll n-r sein.

Warum folgt daraus jetzt, dass Λ1,...,Λr>0 und Λr+1,....,Λn=0 ??



Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
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anonymous

anonymous

08:41 Uhr, 23.01.2022

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Man geht einfach davon aus, dass At⋅A einen EW hat, der 0 ist, oder? Denn wir haben ja behauptet, dass At⋅A positiv SEMIdefinit und daraus kann ich das dann schließen? Richtig?

Und dann bestimmt man ja nur mit dim (KernA^t ⋅A) die geometrische VF von At⋅A... und weil At⋅A diagonalisierbar muss eigentich gelten, dass algebraische VF = geometrische VF...


Ist das so richtig?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:26 Uhr, 23.01.2022

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"Denn wir haben ja behauptet, dass At⋅A positiv SEMIdefinit und daraus kann ich das dann schließen? Richtig?"

Nein. Es gilt auch allgemein. Wenn eine n×n-Matrix A die EW λ1,...,λn hat (manche können auch gleich sein) mit den entsprechenden Eigenvektoren v1,...,vn, die eine Basis bilden (sie muss nicht orthonormal sein), und Wenn A den Rang n-r, dann sind r EW gleich 0.
Das folgt daraus, dass das Bild von A durch {λ1v1,...,λnvn} erzeugt wird (wegen x=a1v1+...+anvn=>Ax=a1λ1v1+...+anλnvn). Und Rang ja das Bild von A.
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