Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Eigenwerte Eigenraum algebraische Vielfachheit

Eigenwerte Eigenraum algebraische Vielfachheit

Universität / Fachhochschule

Tags: Eigenraum, Eigenwert

immai aktiv_icon

18:42 Uhr, 30.01.2017

Bestimmen Sie alle Eigenwerte, sowie die zugehörigen algebraischen Vielfachheiten und Eigenräume der untenstehenden komplexen Matrix.

(\begin{matrix} 2 - i & 0 & - i \\ 8 - 2 i & - 2 & - 2 i \\ i & 0 & 2 + i \end{matrix})

Eigenwert

λ 1 =

λ 2 =

?

Algebraische Vielfachheit ?

Eigenraum ?

muss ich hier Laplace Entwicklungsatz benützen.

Lösungsweg bitte.

Vielen Dank
immai

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:55 Uhr, 30.01.2017

"muss ich hier Laplace Entwicklungsatz benützen"

Nein.

Sonst ist nicht klar, was Dein Problem ist. Das ist eine Standardaufgabe, hier gab's schon Tausend ähnliche.

Hier gibt's die Erklärungen:
http//www.mathebibel.de/eigenwerte-eigenvektoren
http//www.mathebibel.de/eigenwerte-berechnen
http//www.mathebibel.de/eigenwerte-eigenvektoren
http//www.mathebibel.de/eigenraum

immai aktiv_icon

21:39 Uhr, 30.01.2017

wie kann ich durch die links analogien bilden?

ansätze wären wirklich sehr hilfreich.

DrBoogie aktiv_icon

22:34 Uhr, 30.01.2017

"ansätze wären wirklich sehr hilfreich."

Was verstehst Du denn unter Ansätzen?
In diesen Links sind ausführliche Erläuterungen, was brauchst Du mehr?

Oder willst Du eine komplette Lösung haben?

immai aktiv_icon

22:46 Uhr, 30.01.2017

also bei den letzten links habe ich es ja glaub hinbekommen.
so versuche ich es nun hier auch so.

den weg zur lösung wäre sehr toll^^

immai aktiv_icon

23:04 Uhr, 30.01.2017

ich kann hier den Eigenwert nicht bestimmt da ich

a \cdot v = w

haben müsste und ich kein

v

habe, was nun also?

immai aktiv_icon

00:17 Uhr, 31.01.2017

ich komme mit den links leider nicht weiter voran.
kannst du mir den eigenwert hier zeigen bitte?

DrBoogie aktiv_icon

08:18 Uhr, 31.01.2017

Die Bedingung für einen Eigenwert

λ

von

A

ist

\det (A - λ E) = 0

, wo

E

- die Einheitsmatrix ist. Also musst Du nur

A - λ E

aufschreiben, mit einem allgemeinen

λ

, dann Determinante daraus berechnen, das ergibt dann ein kubische Gleichung.
Das Beispiel dafür ist in dem Link drin.

immai aktiv_icon

19:52 Uhr, 31.01.2017

Das habe ich versucht aber ich bekomme die

i

nicht weg.

vllt ein rechenfehler oder falsches vorgehen?

8 - 2 i - λ

usw. so hatte ich das gemacht

ledum aktiv_icon

19:58 Uhr, 31.01.2017

Hallo
die

i

"bekommt" man nicht weg, mit denen rechnet man!
jetzt schreib mal wirklich das Polynom hier auf, und sage genau wo du nicht wieder kommst?

8 - i 2 - λ

kommt nicht vor! nur bei den Diagonalelementen subtrahierst du

λ

Gruß ledum

immai aktiv_icon

20:27 Uhr, 31.01.2017

dann mche ich ja was grundlegendes falsches.

also mein vektor

A = (\begin{matrix} 2 - i & 0 & - i \\ 8 - i & - 2 & - 2 i \\ i & 0 & 2 + i \end{matrix})

soll ich doch machen det(A−λE)=0

(\begin{matrix} 2 - i & 0 & - i \\ 8 - i & - 2 & - 2 i \\ i & 0 & 2 + i \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{matrix}) = 0

daraus mach ich

(\begin{matrix} 2 - i - λ & 0 & - i \\ 8 - i & - 2 - λ & - 2 i \\ i & 0 & 2 + i - λ \end{matrix}) = 0

| (\begin{matrix} 2 - i - λ & 0 & - i \\ 8 - i & - 2 - λ & - 2 i \\ i & 0 & 2 + i - λ \end{matrix}) | (\begin{matrix} 2 - i - λ & 0 \\ 8 - i & - 2 - λ \\ i & 0 \end{matrix}) = 0

und so habe ich immer noch die ganzen i´s .

Was mache ich Falsch ?

Freundliche Grüße
immai

DrBoogie aktiv_icon

20:32 Uhr, 31.01.2017

"also mein vektor"

Das ist kein Vektor, das ist eine Matrix.

"soll ich doch machen"

Das ist fast richtig. Nur warum steht

1 - λ

auf der Diagonale rechts?
Woher kommt da

1 -

?
Richtig wäre einfach

λ

.

"Was mache ich Falsch ?"

Was Du am Ende machst, verstehe ich nicht. Wozu zwei Matrizen nebeneinander schreiben?
Es gibt eine Formel für die Determinante einer

3 \times 3

-Matrix, sie steht in Wikipedia:
de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Quadratische_Matrizen_bis_zur_Gr.C3.B6.C3.9Fe_3_.C3.97_3

immai aktiv_icon

20:57 Uhr, 31.01.2017

achso stimmt wieso habe ich nicht daran gedacht. ich habe aber doch nur 2Eigenwerte

(λ - 2) (λ + 2) = 0

Die 1 habe ich doch wegen Einheitsmatrix

10

und

01

nebeneinander geschrieben um diangonal mal zu nehmen dann diagonal weiter recht zu addieren danach die diagonal abziehen, das hatte ich mal in einem youtube video so gelernt.

DrBoogie aktiv_icon

21:01 Uhr, 31.01.2017

"nebeneinander geschrieben um diangonal mal zu nehmen dann diagonal weiter recht zu addieren danach die diagonal abziehen, das hatte ich mal in einem youtube video so gelernt."

Sorry, aber Du schreibst kompletten Unsinn.
Lerne lieber nicht auf youtube, sondern vernünftig.
Lies ein Buch.

DrBoogie aktiv_icon

21:20 Uhr, 31.01.2017

Richtig wäre:

A - λ E = (\begin{array}{rcl} 2 - i - λ ∣ & 0 ∣ & - i \\ 8 - 2 i ∣ & - 2 - λ ∣ & - 2 i \\ i ∣ & 0 & ∣ 2 + i - λ \end{array})

und

\det (A - λ E) = (2 - i - λ) (- 2 - λ) (2 + i - λ) - i (- i) (- 2 - λ) = - (2 + λ) ((2 - λ)^{2} - i^{2}) + (2 + λ) =

= (2 + λ) (- 5 + 4 λ - λ^{2} + 1) = - (2 + λ) (2 - λ)^{2}

. Daher nur zwei Eigenwerte.

immai aktiv_icon

21:41 Uhr, 31.01.2017

ist das das mit

a 11 \cdot a 22 \cdot a 33

part?

das ist ja viel einfacher zum rechnen^^

alles klar jetzt muss ich die algebraische vielfachheit rechnen

http://massmatics.de/merkzettel/#!409:Vielfachheiten

aber dem nach hier hätte ich doch die selben algebraischen vielfachheiten ?

und Wirklich vielen vielen Dank euch beiden, ihr rettet mich wirklich ungemein.

DrBoogie aktiv_icon

22:02 Uhr, 31.01.2017

"ist das das mit a11⋅a22⋅a33 part?"

Part? Was für Part?
Es wäre einfacher, wenn Du Dich verständlicher ausdrücken würdest.

"aber dem nach hier hätte ich doch die selben algebraischen vielfachheiten ?"

Dieselben wie was? Wieder mal, Dein Deutsch ist entsetzlich. :(

immai aktiv_icon

22:10 Uhr, 31.01.2017

also mit dem part teil meinte ich
aus dem wiki link was du mir geschickt hast steht ja

det (a) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} ...

.

ob das dasselbe ist mit dem was du geschrieben hast
det(A−λE)=(2−i−λ)(−2−λ)(2+i−λ)−i(−i)(−2−λ)

Bei genauerer Betrachtung, bin ich aber selbst darauf gekommen.

ich muss ja jetzt algeraische vielfachheit rechnen, wie geht das?

ich hab zuerst im internt nachgesehen und meine quelle gesucht und mit verlinkt, und wie es darin steht, müsste ich ja auf das selbe kommen das, kann ja nicht richtig sein?.

kannst du mir bitte am besten zeigen wie es geht? danach zu guter letzt eigenraum?

Vielen Vielen Dank Nochmals^^
immai

ledum aktiv_icon

01:03 Uhr, 01.02.2017

Hallo
die algebraische vielfachheit ist die vielfachheit der Nullstelle die ist also für\lambda=2 einfach 2
die geometrische ist dann

\leq 2

wieviele Eigenvektoren gibt es zu

λ = + 2

das ist die geometrische vielfachheit.
Gruß ledum

DrBoogie aktiv_icon

08:16 Uhr, 01.02.2017

"ob das dasselbe ist mit dem was du geschrieben hast"

Ja, dasselbe

DrBoogie aktiv_icon

08:18 Uhr, 01.02.2017

"wieviele Eigenvektoren gibt es zu λ=+2 das ist die geometrische vielfachheit"

Richtig wäre: wieviele Basis-Eigenvektoren gibt's ... oder wieviele linear-unabhängige Eigenvektoren gibt's...
Denn es gibt immer unendlich viele Eigenvektoren zu einem Eigenwert. Wenn man keine Bedingungen wie oben stellt.

immai aktiv_icon

23:22 Uhr, 03.02.2017

Vielen Dank Nochmals an euch beide
Habt Mich an dem Tag echt gerettet.

1354408

1353477

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?