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Eigenwerte berechnen

Universität / Fachhochschule

10:24 Uhr, 09.07.2014

Hallo,

ich soll die Eigenwerte folgender Matrix bestimmen

A = (\begin{matrix} a & 0 & a \\ 0 & a & 2 \\ a & 2 & a \end{matrix}); a

Element der reelen Zahlen.

Ich habe also folgendes gerechnet:

det ((\begin{matrix} a & 0 & a \\ 0 & a & 2 \\ a & 2 & a \end{matrix}) - (\begin{matrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix})) = 0

Wenn ich es etwas vereinfacht habe bin ich auf folgende Gleichung gekommen:

a^{3} + λ^{3} - 2 a^{2} λ - 2 a λ^{2} - a^{2} λ + a λ^{2} - 6 a + 6 λ = 0

Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
Wenn ich nur eine Unbekannte hätte würde ich erst die Polynomdivision durchführen und dann mit der

p

,q-Formel die Werte ausrechnen.

Kann man hier mit 2 Unbekannten in einer Gleichung überhaupt weitermachen?

Danke im voraus

10:59 Uhr, 09.07.2014

Hallo,

bei dieser Aufgabenstellung würde ich als erstes versuchen, ob

λ = a

oder

λ = - a

Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Allerdings habe ich ein anderes charakteristisches Polynom heraus als Du

Gruß pwm

11:28 Uhr, 09.07.2014

Also ich hab´s jetzt nochmal durchgerechnet und komme nun auf folgendes Polynom

λ^{3} - 2 a^{2} λ - λ^{2} a - 4 a + 4 λ = 0

Entspricht das deiner Lösung?
Um zu prüfen on

λ = a

setzt man

z . B

. einfach für beide Unbekannte eine 3 ein?!

12:14 Uhr, 09.07.2014

Mathcad hat

- λ^{3} + 3 \cdot a \cdot λ^{2} - 2 \cdot a^{2} \cdot λ + 4 \cdot λ - 4 \cdot a = 0

und

λ_{1} = a

ist eine Lösung.

12:33 Uhr, 09.07.2014

det (A - λ I) = {(a - λ)}^{3} - a^{2} (a - λ) - 4 (a - λ) = 0

\Leftrightarrow (a - λ) ({(a - λ)}^{2} - a^{2} - 4) = 0

\Leftrightarrow (a - λ) (a^{2} - 2 a λ + λ^{2} - a^{2} - 4) = 0

\Leftrightarrow (a - λ) (- 2 a λ + λ^{2} - 4) = 0

12:44 Uhr, 09.07.2014

Danke euch!

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