Eigenwerte bestimmen mit einer 4x4 Matrix

Hallo,

wenn ich die Frage richtig verstanden habe, geht es hier um Eigenwerte und nicht um die Determinante. Die Determinante ändert sich durch die Zeilenumformungen nicht, aber die Eigenwerte sehr wohl. Mein Taschenrechner spuckt jedenfalls für die beiden Matrizen unterschiedliche Eigenwerte aus:

-1,82|0,38|1,15|16,29 für die nicht umgeformte Matrix und

-16,48|0,37|1,00|2,10 für die umgeformte Matrix.

Hier noch ein kleines Beispiel:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 5\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 2\\ -2& 5-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)+4=}$

${\displaystyle ={\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-6\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+9={(\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)}^2=0\Rightarrow {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}=3}$

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 9\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 2\\ 0& 9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)-0=}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{c}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=0\Rightarrow {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1\wedge {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=9}$

Gruß Yokozuna

Hallo,

also wenn Du die Determinante von der Matrix berechnen willst, dann kannst Du es so machen, aber wenn Du Eigenwerte berechnen willst, geht das nicht. Mein Gegenbeispiel ist denke ich deutlich genug.

Gruß Yokozuna

Ja, das geht natürlich. Aber ich glaube nicht, daß die Berechnung der Eigenwerte dadurch erleichtert wird. Ich nehme nochmal mein kleines Beispiel:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 2\\ -2& 5-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)}$

Ich addiere das ${\displaystyle \frac{2}{1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile:

${\displaystyle \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 2\\ 0& 5-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{4}{1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\end{array}\right)=(1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot \left(\begin{array}{c}5-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{4}{1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\end{array}\right)=(1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot (5-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})+4}$

und dann habe ich im Endeffekt das Gleiche dastehen, als wenn ich die Determinante ohne Umformung berechnet hätte. Bei 4x4-Matrizen entwickeln sich die Elemente in der Hauptdiagonale durch die Umformungen vielleicht noch unerfreulicher. Also ich bin jedenfalls nicht masochistisch genug veranlagt, um das auszuprobieren.

Viele Grüße

Yokozuna