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Eigenwerte einer Abbildung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Abbildungsraum, Eigenwert

 
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Eve--

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20:59 Uhr, 24.11.2020

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Hey!

Ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiter komme. Denke aber das ist größtenteils weil ich das ganze Tehma noch nicht so ganz verstehe aus dem Skript werde ich aber auch nicht schlauer

Sei f: Abb\(R,R) Abb\(R,R), f(g):x xg(x). Bestimme die Eigenwerte von f.

Mit dem Charakteristischen Polynom komme ich nicht weiter. Kann doch gar keins Aufstellen oder? Bräuchte dafür ja eine Darstellungsmatrix. Ich habs so versucht:

Wenn l ein Eigenwert von f ist muss ja gelten f(g)= lg(x) also auch xg(x) = lg(x).
Jetzt bin ich mir nicht sicher was l ist. Ist l dann eine konstante reelle Zahl? Dann würde die Gleichung ja für kein l außer l=0 eine Lösung haben, da x ja eine Variable ist und somit nicht konstant.

Oder vielleicht anders:

xg(x) = lg(x) xg(x) - lg(x) =0(x-l)g(x)=0. Dann würde auch l=0 nicht passen. Oder ist l die Identitäsabbildung l(x)=x?

Bin von dem ganzen Thema etwas verwirrt. Vielleicht mal drei konkrete Fragen:

1. Kann ich ein charakteristisches Polynom aufstellen?
2. Falls nicht wie kann ich Aufgaben dieser Art lösen?
3. Was genau ist das l bzw ein Eigenwert von so einer Funktion? Also ist l eine reele Zahl oder eine Abbildung?

Für jegliche Hilfe dankbar. :-)

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:45 Uhr, 24.11.2020

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"1. Kann ich ein charakteristisches Polynom aufstellen?"

Nein. Denn der Raum ist unendlichdimensional, daher kann man die Abbildung nicht durch eine Matrix darstellen.

"2. Falls nicht wie kann ich Aufgaben dieser Art lösen?"

Per Definition, also wie du das gemacht hast.

"3. Was genau ist das l bzw ein Eigenwert von so einer Funktion? Also ist l eine reele Zahl oder eine Abbildung?"

Eine Zahl.

Du hast es im Grunde richtig: f(g)=lg => xg(x)=lg(x) für alle x => g(x)=0 für xl. Also hat man zu dem Eigenwert l die Eigenfunktion g(x)=1 für x=l und 0 sonst (aber auch jede ag(x) mit a0 ist auch Eigenfunktion).


Eve--

Eve-- aktiv_icon

22:08 Uhr, 24.11.2020

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Danke für die schnelle Antwort!

Bin nicht sicher ob ich das richtig verstehe. Muss der Eigenwert l gar nicht für alle x gelten? Ich dachte die Gleichung xg(x) = lg(x) muss für alle x gelten damit l ein Eigenwert ist. Wenn das nur für ein bestimmtes x gelten muss dann sind ja alle l Eigenwerte von f?(Also wenn, wie du gesagt hast, g(x)=1 ist und x=l)
Und wie gebe ich das ganze dann an? Ich soll ja die Eigenwerte angeben, genauer soll ich das Spektrum angeben, aber das sind ja die Eigenwerte. Also mit der Form Spec(f) ={?}.



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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:13 Uhr, 24.11.2020

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"Bin nicht sicher ob ich das richtig verstehe. Muss der Eigenwert l gar nicht für alle x gelten? Ich dachte die Gleichung xg(x) = lg(x) muss für alle x gelten damit l ein Eigenwert ist"

Natürlich, es muss für alle x gelten, dass xg(x)=lg(x).
Aber wenn g so definiert: g(l)=1 und g(x)=0 wenn xl, dann haben wir für alle x: xg(x)=lg(x),
denn bei xl ist es 0=0 und für x=l ist es l=l.

Spetrum ist ganz R in diesem Fall.

Frage beantwortet
Eve--

Eve-- aktiv_icon

16:33 Uhr, 25.11.2020

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Ah jetzt hab ichs. Vielen Dank :-)