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Eigenwerte einer Drehmatrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: drehmatrix, Eigenwert

bard00oooo aktiv_icon

14:30 Uhr, 05.02.2011

Hallo.

Ich weiss nicht wie ich folgende Aufgabenstellung löse.

Ich hoffe ich könnt mir weiterhelfen.

a) Habe Eigenwerte der Drehmatrix berechnet:

$(\begin{matrix} \cos (t) - λ & - \sin (t) \\ \sin (t) & \cos (t) - λ \end{matrix})$

$= {(\cos (t) - λ)}^{2} + {\sin (t)}^{2} = 0 {\cos (t)}^{2} + 2 \cos (t) λ + λ^{2} + {\sin (t)}^{2} = 0 m i t {\sin (t)}^{2} + {\cos (t)}^{2} = 1 e r g e b e n s i c h f o \lg e n d e E i g e n w e r t e λ (λ + 2 \cos (t)) = 0 λ = 0 u n d λ = - 2 \cos (t)$

Wann sind die Eigenwerte reell ??

b) Wie berechne ich t ?

bard00oooo aktiv_icon

14:35 Uhr, 05.02.2011

Sorry ich schreibe es nochmal auf.

${(\cos (t) - λ)}^{2} + {\sin (t)}^{2} = 0$

$2 \cos (t) λ + λ^{2} + {\sin (t)}^{2} + {\cos (t)}^{2} = 0$

da ${\sin (t)}^{2} + {\cos (t)}^{2} = 1$

ergeben sich folgende Eigenwerte

$λ = 0, λ = - 2 \cos (t)$

Wie bekomme ich nun die reellen Eigenwerte?

und wie berechne ich t bei b) ??

pepe1 aktiv_icon

20:33 Uhr, 06.02.2011

λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot cos (t) + 1 = 0

λ_{1; 2} = cos (t) \pm i \cdot sin (t)

Komplexe Eigenwerte

MfG

bard00oooo aktiv_icon

10:17 Uhr, 07.02.2011

ah danke. hatte das minus falsch.

Für welche Werte von t hat die Matrix reelle Eigenwerte ??

Muss ich die Eigenwerte = 0 setzten und nach t auflösen ??

Sina86

12:06 Uhr, 07.02.2011

Hi,

schau dir die Lösung von Pepe an. Für welche Werte von

t

fällt der Imaginärteil weg? Dann sind

λ_{1, 2}

reelle Zahlen.

Gruß
Sina

bard00oooo aktiv_icon

15:21 Uhr, 07.02.2011

$t = 0$

$t = π$

$t = 2 π$

Sina86

16:14 Uhr, 07.02.2011

Ja, richtig. Mit Sicherheit steht in der Aufgabe (oder sollte zumindest) so etwas wie

t \in [0, 2 π)

, da

t = 0

und

t = 2 π

denselben Winkel beschreiben. Es gibt also nur zwei Lösungen, für die reelle Eigenwerte herauskommen.

bard00oooo aktiv_icon

18:20 Uhr, 07.02.2011

Steht leider nicht in der Aufgabenstellung. Aber danke für die Hilfe ^^

asg-2014 aktiv_icon

02:48 Uhr, 12.01.2015

Hallo zusammen,

ich habe auch eine sehr ähnliche Aufgabe zu lösen, aber komme an folgender Stelle nicht klar:

Aufgabe:
Zeigen oder widerlegen Sie für

A \in ℝ^{n \times n}

:

Für speziell

n = 2

gilt:
Stellt

A \in ℝ^{2 \times 2}

eine Drehung dar, so hat

A

keine reellen Eigenwerte.

Nun meine Frage:
Wie kommt man in der Lösung von Pepe1 auf

λ_{1; 2} = \cos (t) \pm i \cdot \sin (t)

?

Ich habe

λ_{1, 2} = \cos (t) \pm \sqrt{\cos^{2} (t) - 1}

Wie komme ich denn von

\cos^{2} (t) - 1

i \cdot \sin (t)

?

Wenn ich die Aufgabenstellung nicht falsch verstanden habe, dann ist die Aussage in der Aufgabenstellung falsch, also zu widerlegen, wegen

t = 0

t = π

t = 2 π

usw.

Richtig?

Dankeschön für jede Hilfe.

Viele Grüße

Asg

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