Eigenwerte einer großen Matrix

Guten Morgen,

gegeben sei folgende Matrix G:

(sry für die Darstellung, weiß nicht, wie man mit dem Formeleditor ne Matrix aufstellt... :S )

Gefragt sei, ob die Matrix G nur reelle Eigenwerte besitzt.

So eine Matrix kann man sicherlich ganz normal auflösen und dann mit Hilfe des charakteristischen Polynoms die Eigenwerte bestimmen. Nur ist der Weg mit extrem viel Rechenarbeit verbunden, sodass es hier sicherlich eine "Abkürzung" gibt.

Ich habe in Erinnerung, dass man mit Hilfe von Jordan-Kästchen die Eigenwerte ablesen kann. Nur weiß ich ich nicht, wie man da vor geht und ob das in erster Linie überhaupt stimmt.

Freue mich über eure Beiträge!

Liebe Grüße

Hallo,

also ich weiß nur, daß reellwertige symmetrische Matrizen reelle Eigenwerte haben, aber diese Matrix ist ja nicht symetrisch. Wenn man sich die Matrix so anschaut, fallen einem doch sofort einige Zeilen und Spalten auf, die fast nur mit Nullen besetzt sind. Die Abkürzung besteht nun darin, bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms die Determinante geschickt nach diesen Zeilen und Spalten zu entwickeln:

${\displaystyle \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}\begin{array}{c}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ -2008\end{array}\\ 2009\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 2-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\\ 0\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}0& 0\end{array}& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-3& 4\end{array}& -5\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \begin{array}{cc}-1& 8\end{array}\end{array}\end{array}\\ -2010& 0& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}1\end{array}& \begin{array}{cc}9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& -7\end{array}\end{array}\\ 2011& 0& \begin{array}{cc}0& \begin{array}{cc}0& 6\end{array}\end{array}\end{array}\right)=}$

(Entwicklung nach der 1. Zeile)

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}2-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}& \begin{array}{c}-3\\ 9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{cc}4& -5\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}-1& 8\end{array}\end{array}\\ 0& 1& \begin{array}{cc}9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& -7\end{array}\\ 0& 0& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}0\end{array}& 6-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\end{array}\right)=}$

(Entwicklung nach der 2. Spalte)

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\cdot (2-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& -1& 8\\ 1& 9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& -7\\ 0& 0& 6-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=}$

Jetzt solltest Du eigentlich selbst sehen, nach welcher Zeile man nun am besten entwickelt und die verbleibende 2x2-Determinante sollte auch kein Problem mehr sein. Wenn Du das gemacht hast, steht das charakteristische Polynom schon fast in Linearfaktoren zerlegt da.

Viele Grüße

Yokozuna

Das ist ja ne interessante Vorgehensweise. Also wenn ich das so fortführe wie du sagst, dann kann ich ja noch nach (${\displaystyle 6-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$) entwickeln und hätte letztendlich die folgende Matrix

${\displaystyle \begin{array}{cc}9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& -1\\ 1& 9-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

dort stehen, die schiefsymmetrisch ist. Und schiefsymmetrische Matrizen haben nur imaginäre Eigenwerte soweit ich weiß. Dementsprechend ist die Aussage ob die Ursprungsmatrix nur reelle Eigenwerte besitzt falsch. Cool danke.

Aber noch eine kleine Frage. Kann man diese Entwicklung nach den Eigenwerten auch auf kleinere Matrizen, bspweise 3x3 Matrizen übertragen?? Ich hab das nämlich ausprobiert und komme immer auf falsche Ergebnisse.

Dein Endergebnis ist richtig. Grundsätzlich kann man so bei jeder Matrixgröße vorgehen, wenn da viele Nullen drinstehen. Man muß sich halt für die Entwicklung der Determinante immer die Zeilen oder Spalten aussuchen, wo die meisten Nullen vorkommen. Dann muß man nicht so viele Unterdeterminanten berechnen und man kann sich viel Arbeit sparen. Allerdings kriegt man halt nicht immer gleich so eine schöne Aufteilung in Linearfaktoren, wie bei dieser Aufgabe.

Wenn Du bei den 3x3-Matrizen Probleme hast, dann poste doch mal eine.

Viele Grüße

Yokozuna

Du hast ja in der 1. Zeile nicht nur ${\displaystyle 4-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ stehen, sondern auch noch die 1 in der 3. Spalte. Die trägt dann auch noch eine Unterdeterminante bei:

${\displaystyle \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}4-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0& 1\\ -2& 1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0\\ -2& 0& 1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=(4-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0\\ 0& 1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)+1\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{cc}-2& 1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ -2& 0\end{array}\right)}$

Ich hätte nach der 2. Spalte entwickelt, denn da ist wirklich nur noch ein Eintrag ungleich Null:

${\displaystyle \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}4-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0& 1\\ -2& 1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0\\ -2& 0& 1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=(1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{cc}4-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 1\\ -2& 1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=}$

${\displaystyle =(1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot ((4-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot (1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})+2)=(1-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot ({\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-5\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+6)}$

und das gibt die Eigenwerte 1, 2 und 3.

Bei der großen Matrix, die Du da angegeben hast, fehlt noch eine Zeile, aber ich nehme an, daß Du die jetzt selbst auf die Schnelle erfunden hast und daß dies kein echtes Beispiel aus einer Klausur ist. Ich denke, daß da immer eine Menge Nullen drin sind, sonst hat man kaum eine Chance, so etwas in der Klausur auszurechnen. Das mit der schiefsymmetrischen Unterdeterminante bei der ersten Aufgabe hat auch nur funktioniert, weil wir am Schluß einen Ausdruck der Form

${\displaystyle (\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot (\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{...}\right)=0}$

hatten. Steht da aber z.B.

${\displaystyle (\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot (\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{...}\right)-(\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{...}\right)+\mathrm{...}=0}$

dann hilft nur noch ausmultiplizieren und Nullstellen suchen. Bei einem charakteristischen Polynom 5. Grades müßten eigentlich immer ein paar einfache Lösungen dabei sein, die man erraten kann (im Bereich -4 bis +4), sonst ist das für eine Klausur zu schwer (ich gehe davon aus, daß man keinen GTR benutzen darf, sonst könnte man ja die Eigenwerte einfach damit berechnen).

Viele Grüße

Yokozuna