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Eigenwerte, quadratische Formen und Definitheit

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Definitheit, Definitheit einer Matrix, Eigenwert, Matrizenrechnung, quadratische Form, Symmetrische Matrix

 
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MajorTOM

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15:06 Uhr, 10.02.2011

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Hallo Leute,

mal wieder komme ich nicht weiter.

Aufgabe:
Bestimmen Sie zu den folgenden quadratischen Formen die zugehörigen symmetrischen Matrizen und untersuchen Sie die Definitheitseigenschaften der quadratischen Formen bzw. der zugehörigen Matrizen.

a)q(x→)=x12+822

und vielleicht auch noch zum besseren Verständnis. Damit ich die anderen Aufgaben alleine weiterlösen kann.

b)q(x→)=-(x1+x2)2


Wie komme ich zum Beispiel auf die Matrix in a) oder b) gibt es da eine Regel oder funktioniert das nur durch probieren und gutes hinschauen?

Vielen Dank für jede hilfreiche Antwort.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Bummerang

Bummerang

18:46 Uhr, 10.02.2011

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Hallo,

xTAx

=(x1  x2)(abcd)(x1x2)

=(x1  x2)(a⋅x1+b⋅x2c⋅x1+d⋅x2)

=(a⋅x1+b⋅x2)⋅x1+(c⋅x1+d⋅x2)⋅x2

=a⋅x12+b⋅x2⋅x1+c⋅x1⋅x2+d⋅x22

=a⋅x12+(b+c)⋅x1⋅x2+d⋅x22

Wegen der Forderung nach symmetrischen Matrizen folgt b=c und somit b+c=2⋅b=2⋅c bzw. b=c=12⋅(b+c)

Die Aufgaben löst man durch Koeffizientenvergleich

a)xTAx=x12+x22

⇒a=1,b=c=12⋅0=0,d=1

A=(1001)

b)xTAx=-(x1+x2)2=-(x12+2⋅x1⋅x2+x22)=-x12-2⋅x1⋅x2-x22

⇒a=-1,b=c=12⋅(-2)=-1,d=-1

A=(-1-1-1-1)
MajorTOM

MajorTOM aktiv_icon

15:56 Uhr, 16.02.2011

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habe alles verstanden vielen dank!
Frage beantwortet
MajorTOM

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15:58 Uhr, 16.02.2011

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=CLOSED=