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Eigenwerte quadrierter Matrizen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert, Eigenwertproblem

anonymous

20:36 Uhr, 18.01.2022

Wenn

c

ein Eigenwert von der Matrix

A^{2}

ist, dann ist

d

ein Eigenwert von A mit

c = d^{2}

.
Ich hab in einer vorherigen Aufgabe bereits bewiesen, dass wenn a ein Eigenwert von A ist, dass dann

a^{2}

ein Eigenwert von

A^{2}

ist.
Mein Ansatz:
Sei

v

ein Eigenvektor zu A und sei

d

Eigenwert zu

A,

dann gilt

A^{2} \cdot v = c \cdot v

und

A \cdot v = d \cdot v

Damit:

A^{2} \cdot v = A \cdot (A \cdot v) = A \cdot d \cdot v = d \cdot (A \cdot v) = d^{2} \cdot v = c \cdot v

\Rightarrow d^{2} \cdot v = c \cdot v \Leftrightarrow d^{2} = c

Würde das funktionieren, oder habe ich etwas übersehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

22:15 Uhr, 18.01.2022

Das funktioniert so nicht.
Du nutzt, dass wenn

v

ein Eigenvektor von

A^{2}

ist,

v

auch ein Eigenvektor von

A

ist. Aber bewiesen hast du es nicht. Und das kann man nicht beweisen, weil es nicht richtig ist im allgemeinen Fall.

DrBoogie aktiv_icon

22:19 Uhr, 18.01.2022

Nutze, dass

A^{2} - d^{2} I = (A - d I) (A + d I)

gilt.
Übrigens, die Aussage gilt nicht über jeden Körper

K

anonymous

22:29 Uhr, 18.01.2022

Deswegen hab ich ja erwähnt, dass ich schon bewiesen hab, dass wenn a ein Eigenwert mit dem Eigenvektor

v

zu A ist,

a^{2}

ein Eigenwert zu

A^{2}

ist mit dem Eigenvektor

v

.
Der Beweis dafür ist ja praktisch die erste Zeile meines Ansatzes, also:

A^{2} \cdot v = A \cdot (A \cdot v) = A \cdot a \cdot v = a \cdot (A \cdot v) = a^{2} \cdot v

Deshlab bin ich auch der Meinung, das hier benutzen zu dürfen.

DrBoogie aktiv_icon

22:53 Uhr, 18.01.2022

"Deshlab bin ich auch der Meinung, das hier benutzen zu dürfen."

Natürlich darfst du das.
Das hat aber überhaupt nichts damit zu tun, was ich geschrieben habe.
Noch einmal. Was du hast:

d

ist ein EW von

A^{2}

, also gibt's ein

v \neq 0

, so dass

A^{2} v = d v

. Mehr weißt du nicht. Du weißt z.B. nicht, ob

v

ein Eigenvektor von

A

ist (wie gesagt, es kann durchaus sein, dass dieser

v

kein Eigenvektor von

A

ist). Du kennst auch keinen anderen Kandidaten für einen Eigenvektor von

A

. Also wie willst du dann die von dir bewiesene Tatsache nutzen? Dir fehlt einfach die Voraussetzung.

HAL9000

11:30 Uhr, 19.01.2022

Um die eine Aussage von DrBoogie zu illustrieren: Für

A = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})

ist

A^{2} = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

, also die Nullmatrix.

Nun ist

v = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array})

ein Eigenvektor von

A^{2}

, aber keiner von

A

anonymous

15:12 Uhr, 19.01.2022

Danke, jetzt verstehe ich diesen Punkt.

Um dann nochmal auf

A^{2} - d^{2} \cdot I = (A - d \cdot I) (A + d \cdot I)

einzugehen:
Soll ich damit zeigen, dass die Determinante von

(A - d \cdot I)

gleich null ist, so dass

d

wirklich ein Eigenwert von A ist und

A^{2} - d^{2} \cdot I

auch gleich null wird?
Ich glaube nicht, dass meine Idee so richtig ist, was anderes fällt mir aber nicht in den Sinn.

DrBoogie aktiv_icon

15:27 Uhr, 19.01.2022

Wenn

d^{2}

ein EW von

A^{2}

ist, dann gibt's ein

v \neq 0

mit

(A^{2} - d^{2} I) v = 0

. Damit ist

A^{2} - d^{2} I

nicht injektiv. Wenn jetzt beide

A - d I

und

A + d I

injektiv wären, dann wäre auch

A^{2} - d^{2} I = (A - d I) (A + d I)

injektiv. Also, muss mindestens eine von beiden

A - d I

A + d I

nicht injektiv sein. Wenn

A - d I

nicht injektiv ist, dann ist deren Kern nicht Null, also gibt's ein

u \neq 0

mit

(A - d I) u = 0

, damit ist

d

ein EW von

A

. Genauso, wenn

A + d I

nicht injektiv ist, ist

- d

ein EW von

A

anonymous

15:53 Uhr, 19.01.2022

Ich wäre echt nicht darauf gekommen Injkektivität zu benutzen.

Vielen Dank für diese Erklärung!

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