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Eigenwerte und Eigenräume einer komplexen Matrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenraum, Eigenwert, Komplexe Zahlen, Matrix

Cartman35 aktiv_icon

17:47 Uhr, 10.07.2012

Hallo,

ich bräuchte für folgende Matrix ein bisschen Hilfe:
Gegeben sei diese Matrix:

(\begin{matrix} 2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{matrix})

Zu bestimmen wären die Eigenwerte und Eigenräume.

\Rightarrow

Das charakteristische Polynom wäre demzufolge:

(\begin{matrix} 2 - λ & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 - λ & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 - λ & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 - λ \end{matrix})

\Rightarrow {(2 - λ)}^{2} \cdot {(- λ)}^{2} = 0

Eigenwerte dahergehend 2 und 0. Allerdings sagt die Aufgabe schon, dass es sich hier auch um komplexe Eigenwerte handelt. Und laut wolframalpha kommen die auch raus:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=((2,0,1,2),(0,2,-2,-4),(0,0,0,1),(0,0,-1,0))

2,2, i, - i

Allerdings komme ich beim besten Willen nicht darauf! Alle anderen Terme außer die Hauptdiagonale kann man aufgrund des 0-Faktors eliminieren, wobei dann nur noch der angebenene Term herauskommt, welcher keine komplexen EW liefert.

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Mathe-Steve aktiv_icon

17:58 Uhr, 10.07.2012

Hallo,
die

- 1

in der letzen Zeile an dritter Stelle stört Deine Argumentation.
Denke Dir mal die Determinante durch eine waagerechte und eine senkrechte Linie in vier kleinere quadratische

2 x 2

Matrizen zerlegt.
Berechne dann die Determinante links oben zu

{(2 - λ)}^{2}

und rechts unten zu

λ^{2} + 1 -

diese liefert die komplexen Lösungen.
Gruß
Stephan

Cartman35 aktiv_icon

18:18 Uhr, 10.07.2012

Meinst du den Entwicklungssatz von Laplace (nach der 1. Spalte)?

Mathe-Steve aktiv_icon

18:34 Uhr, 10.07.2012

Nein, den meinte ich nicht, aber der geht auch. Ich schrieb von Blockmatrizen.
Wie also willst Du diese 1 unten rechts eliminieren?

Cartman35 aktiv_icon

18:46 Uhr, 10.07.2012

Ich hab es jetzt nach dem Entwicklungssatz gemacht, da ich hier das Ergebnis herausbekommen habe. Ich habs direkt nach der ersten Spalte entwickelt, augrund der 0en.

(2 - λ) | \begin{matrix} 2 - λ & - 2 & - 4 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & - 1 & - λ \end{matrix} |

Der Rest ist irrelevant, da

0 \cdot det (...) = 0

Aber wie meinst du das mit dem Auflösen der 1 und Blockmatrizen?

Mathe-Steve aktiv_icon

18:48 Uhr, 10.07.2012

und jetzt noch einmal nach der ersten Spalte...

Cartman35 aktiv_icon

18:50 Uhr, 10.07.2012

So ungefähr:

(2 - λ) (2 - λ) | \begin{matrix} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{matrix} |

= {(2 - λ)}^{2} | \begin{matrix} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{matrix} |

Mathe-Steve aktiv_icon

18:59 Uhr, 10.07.2012

Genau und nun die letzte Determinante

(- λ) \cdot (- λ) - 1 \cdot (- 1)

Cartman35 aktiv_icon

19:02 Uhr, 10.07.2012

Gut, dass habe ich auch soweit heraus. Erstmal ein großen Dank ein deine Geduld und Hilfe. Eigenraum sollte nun rel. leicht von der Hand gehen, hoffe ich.
Eigenraum

= < v_{1}, . .

, v_{n} >,

wobei

v_{1}, . .

, v_{n}

gleich die Eigenvektoren sind?

Edit: Gut, das war falsch.

Der Eigenraum sind alle Eigenvektoren zu einem Eigenwert.
Hier also zu

λ = 2 := < (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) >

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