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Eigenwerte und Eigenvektoren-Bedeutung im Bezug zu
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Eigenvektor, Eigenwert
 
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Hey Hab folgendes Problem: Wir behandeln im Kurs hinsichtlich der Abbildungsmatritzen nur die lineare Algebra, sprich Übergangsmatritzen etc., also keine "geometrischen" Abbildungen. Hierzu berechnen wir häufig für ein konkretes Anwendungsbeispiel die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Abbildungsmatrix. Dies zu berechnen ist (meiner Meinung nach zumindest) ein klacks. Aber: Was hat das Ergebnis für eine praktische Bedeutung? Nehmen wir mal an ich habe eine Abbildungsmatrix, die beschreibt wie sich das Wahlverhalten einer Bevölkerung zwischen den Parteien und verändert bzw. wie dieser Austauschprozess abläuft. Von dieser Matrix A berechne ich jetzt die Eigenwerte und Eigenvektoren. Was bedeuten die Eigenwerte, was die Eigenvektoren konkret auf die Realität bezogen (Wahlverhalten der Bevölkerung)? Ich weiß nie wie ich dieses Ergebnis interpretieren soll. Ich bekomme zwar die richtige Lösung, würde aber nie von selbst darauf kommen bei der und der Aufgabenstellung die Eigenwerte/Vektoren auszurechnen und kann dazu auch keinen sinnvollen Antwortsatz schrieben. Kann mir wer helfen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hi determin, die Bedeutung von Eigenwerten und -vektoren ist von Einzelfall zu Einzelfall sehr unterschiedlich und eigentlich keine mathematische Frage (d.h. kein Mathematiker würde versuchen seine Ergebnisse zu interpretieren, das ist eigentlich nicht seine Aufgabe). In deinem Bsp. müsste man zudem einige Dinge ausschließen. Wenn man einen Eigenvektor hat, der beschreibt, wie viele Wähler jede einzelne Partei besitzt, und ist ein Eigenwert deiner Matrix , die beschreibt, wie sich die Wähleranzahl der einzelnen Parteien pro Wahlgang ändert, dann wäre ja D.h. die Wählerschaft jeder Partei wächst gleichmäßig an, bzw. schrumpft ab (wir gehen also davon aus, dass Wähler der Gesamtwählerschaft hinzukommen, bzw. zu Hause bleiben können). Damit bliebe aber die Proportionen der Wahlvolkverteilung zwischen den Parteien immer gleich (z.B. wenn man die Sitze in der Regierung betrachtet, dann bliebe Partei in vergleich zu Partei oder immer gleichmächtig, genau so, wie Partei zu ). D.h. die Eigenwerte bezeichnen einfach einen Zuwachs (oder Abfall) um einen Faktor, und die Eigenvektoren eine Wahlbevölkerungsverteilung, die keine Machtverschiebung im Staat mehr zulassen. Ist ein solcher Zustand einmal eingestellt, ändert sich in der Politik gar nix mehr. Leider sind solche Interpretationen wie gesagt immer vom Zusammenhang abhängig und benötigen eine Menge Fantasie. Eigentlich sind zwei Eigenwerte immer besonders interessant, das wäre nämlich zum einen (stationärer Zustand, d.h. das System ändert sich nicht mehr. In deinem Fall eine Verteilung, nach der die Parteien weder Wähler dazugewinnen noch verlieren können, man könnte also von einem Gleichgewicht sprechen) und (Annulation, d.h. das System "bricht" zusammen, in deinem Bsp eine Wählerverteilung, bei der alle so unzufrieden sind, dass sie im nächsten Jahr nicht mehr (und auch nie wieder) wählen gehen, d.h. die Demokratie hätte versagt ;-) ). Diese beiden Eigenwerte sind im Allgemeinen vor allen anderen ausgezeichnet, wenn du also irgendetwas interpretieren sollst, dann würde ich erst mal überlegen, wie ich es interpretieren würde, wenn oder ist. Einen anderen Tipp kann ich dir leider nicht geben. Lieben Gruß Sina |
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Wow... So gut konnte mir das bisher niemand erklären und mein Mathelehrer (der echt Fachwissen mit hat) ist der Frage immer geschickt ausgewichen. Der Stationäre Zustand ist ja eigentlich einfach durch zu berechnen. Aber interessant, dass da auch Zusammenhang besteht. Danke für deine Mühe und den langen Text, du hast mir wirklich sehr geholfen! Schönen Abend! |
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