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Eigenwerte und nilpotente Matrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung

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15:27 Uhr, 15.04.2015

Hallo.

Sei

A \in ℂ^{(n, n)}, n \in ℕ

. Zeige, dass A nilpotent ist, wenn 0 einziger Eigenwert von A ist.
Als Hinweis ist angegeben, dass man dafür zeigen soll, dass für eine obere Dreiecksmatrix

B = (b_{i, j})_{i, j = 1, . . ., n} \in ℂ^{(n, n)}

mit

b_{i i} = 0, i = 1, . . ., n

, gilt

B^{n} = 0

.

Mit vollständiger Induktion habe ich gezeigt:

IA: n=1

B^{1} = 0

, da

B^{1} \in ℂ^{(1, 1)}

und

b_{11} = 0

IV: Es gilt für ein

n \in ℕ

, dass

B^{n} = 0

.
IS:

B^{n + 1} = B^{n} \cdot B = 0 \cdot B = 0

Stimmt das so und wenn ja, was bringt mir das für die Aufgabe?

Danke.

Sina86

16:12 Uhr, 15.04.2015

Hallo,

da im Induktionsschritt

B

eine

ℂ^{(n + 1) \times (n + 1)}

-Matrix und keine

ℂ^{n \times n}

-Matrix wie in der Induktionsvoraussetzung, kannst du diese nicht unmittelbar im IS einsetzen. Das geht nur für eine quadratische Untermatrix der Dimension

n

. Also z.B. der Matrix

\hat{B}

, die entsteht, wenn man die letzte Spalte und Zeile von

B

streicht.

Was die Anwendbarkeit für deine Aufgabe angeht: Was weißt du denn für komplexe Matrizen bezüglich Trigonalisierbarkeit und was weißt du über die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix?

Grüße
Sina