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Eigenwerte von A² berechnen
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Eigenwert, Einheitsmatrix
 
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Hallo, es geht um folgende Aufgabenstellung: Gegeben sei eine Matrix A € (n x n, Reelle ZAhlenbereich). Berechnen Sie alle möglichen Eigenwerte von A, wenn a) A²=0 b) A²=E ( Einheitsmatrix) c) A²= A gilt, also A ein Projektor ist Ich habe folgende Ansätze: a) Wenn ß ein Eigenwert von A ist, dann existiert ein v Ungleich 0 für Av=ßv und A²v=A(Av)=A(ßv)=ßAv=ß²v Aber nach Voraussetzung ist A²=0, Daraus folgt: 0*v=A²v=ß²v-->ß²=0-->ß=0 Dies zeigt , dass 0, einzige Eigenwert von A ist. b)Ich weiß, dass der Eigenwert 1 ist aber leider weiß ich nicht genau wie ich das BEweisen soll, hat jemand vll eine Lösung/Ansatz für mich aber ich habe folgende Idee: charakteristische Polynom einer MAtrix A ist die Determinante von A-v*E--> p(v)=det(A-v*E) wir definieren A = E A-v*E= ..... =(1-ß)²=0 --> ß = 1 c) Angenommen, ß ist ein Eigenwert von A, dann existiert ein Eigenvektor v mit v Ungleich 0, wobei gilt: Av=ßv Beweis: ßv=Av =A²v =A(Av) =A(ßv) , weil v Eigenvektor von A ist =ß(Av) =ß(ßv) , weil v Eigenvektor von A ist =ß²v Daraus folgt: 0=ß²v-ßv =(ß²-ß)v Da v ein Eigenvektor ist, ist v Ungleich 0 und wir haben folgenden Ausdruck: 0=(ß²-ß) Als Einzige Lösung für diese Gleichung ist : ß=0 und ß=1 , da 0=(1²-1) w.A 0=(0²-0) w.A Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, über b) solltest du nochmal nachdenken. Z.B. hat den Eigenwert ; dennoch ist . Es wäre insgesamt vermutlich schlauer über die Eigenschaften des Minimalpolynoms nachzudenken. Gruß ermanus |
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Soll ich also jeweils 2 Fallunterscheidung machen einmal für A:= E und A:= -E ?? dann einfach berechnen.. würde das ausreichen PS: sind die anderen denn so in Ordnung? Danke |
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Es wären in Wirklichkeit bei -Matrizen Möglichkeiten, nämlich alle Diagonalmatrizen . Und woher weißt du dann, ob es nicht noch andere gibt? Woher weißt du überhaupt, dass diagonalisierbar ist? Fragen über Fragen ... Hast du dich denn schon über das Minimalpolynom schlau gemacht? a) ist OK. c) muss ich mir noch angucken ... |
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c) ist auch OK :-) |
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Super Danke.. Also für b mach ich das jetzt mit der Fallunterscheidung da habe ich auch -1 raus aber leider hat es jetzt mit den Minimalpolynomen nicht so wirklicch bei mir klick gemacht :-) habe micht darüber informiert aber ich verstehe den zusammenhang nicht. Ich danke dir trotzdem für deine bestätigung für a und c |
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Die Fallunterscheidung nützt dir vermutlich nichts, z.B. könnte die Matrix ja auch so aussehen . Aber vielleicht verstehe ich deine Beweisidee mit der Fallunterscheidung auch nicht richtig? |
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b) kannst du genauso wie a) oder c) erledigen. Du kommst dann auf , etc. etc. Wie ich das mit dem Minimalpolynom meinte, erkläre ich dir in ca. 10 Minuten. |
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Zum Minimalpolynom : 1. Ist ein Polynom mit (Nullmatrix), dann ist durch teilbar. 2. Die Nullstellen von sind die sämtlichen Eigenwerte von . zu a) Wegen ist Nullstelle des Polynoms . Das Minimalpolynom ist also oder . Die einzige Nullstelle ist . zu b) Wegen ist Nullstelle des Polynoms . Daher sind die einzig möglichen Eigenwerte und . zu c) Wegen ist Nullstelle des Polynoms , also sind die einzig möglichen Eigenwerte und . Gruß ermanus |
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Danke für die Ausführliche Erklärung :-) |
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