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Ein Gebiet in R² zeichnen?

Universität / Fachhochschule

Tags: Ebene, Kurvenintegral, Vektorfeld

virus01 aktiv_icon

17:58 Uhr, 16.01.2012

Hallo zusammen,

Ich soll ein Kurvenintegral des Vektorfeldes v:R²->R² mit $v (\overset{⇀}{x}) = (\begin{matrix} \frac{x_{1} ²}{x_{2}} \\ 0 \end{matrix})$

über den Rand des Gebietes G berechnen .

Das Gebiet G ist: $G = {\overset{⇀}{x} = (x_{1}, x_{2}) \in ℝ² | 1 \leq x_{1} \leq 2, x_{1} \leq x_{2} \leq x_{1} ²}$

Ich weiß wie ich das Kurvenintegral berechnen muss, nur bin ich mir bei den Kurven unsicher.

Wie bestimme ich jetzt aus dem Gebiet G die Randkurve/n und wie kann ich das Gebiet zeichnen?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Ebene - Ebene

Yokozuna aktiv_icon

10:44 Uhr, 17.01.2012

Hallo,

es ist besser erst mal das Gebiet zu zeichnen und danach kannst Du Dir überlegen, von welchen Randkurven das Gebiet begrenzt ist. Dazu wertet man der Reihe nach die in der Definition von

G

stehenden Informationen aus und überträgt sie sofort in die Zeichnung (siehe unten).
Ich beschreibe Dir jetzt mal, wie ich vorgegangen bin:
Zunächst steht da

1 \leq x_{1} \leq 2

. Durch diese Bedingung wird das Gebiet in x_1-Richtung begrenzt. Diese Bedingung bedeutet doch, daß alle Punkte

(x_{1}, x_{2})

von

G

in einem senkrechten Streifen zwischen den beiden senkrechten Geraden

x_{1} = 1

und

x_{1} = 2

liegen. Also zeichne ich diese beiden Geraden mal ein.
Durch die zweite Bedingung

x_{1} \leq x_{2} \leq x_{1}^{2}

wird das Gebiet in x_2-Richtung begrenzt. Diese Ungleichung besteht aus 2 Teilungleichungen. Betrachten wir zunächst

x_{1} \leq x_{2}

. Wenn Gleichheit eintritt, also

x_{1} = x_{2},

haben wir die Funktionsgleichung der Geraden

x_{2} = x_{1}

(xy-Schreibweise

y = x)

. Das ist die Gerade, die im 45°-Winkel durch den 1. und 3. Quadrant geht. Wir zeichnen diese Gerade in die Zeichnung ein und wissen wegen

x_{1} \leq x_{2},

daß alle Punkt des Gebiets oberhalb dieser Geraden liegen müssen.
Nun betrachten wir die 2. Teilungleichung

x_{2} \leq x_{1}^{2}

. Bei Gleichheit haben wir

x_{2} = x_{1}^{2}

. Das ist eine Parabel

(y = x^{2}),

die wir ebenfalls in die Zeichnung eintragen. Wegen

x_{2} \leq x_{1}^{2}

liegen alle Punkte des Gebiets unterhalb der Parabel.
Da es keine weiteren Bedingungen in der Definition von

G

gibt, haben wir unser Gebiet gefunden. Es wird begrenzt von der Geraden

x_{2} = x_{1},

der Parabel

x_{2} = x_{1}^{2}

und der senkrechten Geraden

x_{1} = 2

.
Für die Integration mußt Du diese Kurven noch entsprechend parametrisieren.

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

20:23 Uhr, 17.01.2012

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Hab das jetzt super verstanden.

Ich habe die Kurven so parametrisiert

$C_{1} (t) = (\begin{matrix} t \\ t \end{matrix}), C_{2} (t) = (\begin{matrix} t \\ t² \end{matrix}), C_{3} (t) = (\begin{matrix} 2 \\ t \end{matrix})$

, jede in das Vektorfeld eingesetz und das Kurvenintegral nach der üblichen Regeln berechnet.

Meine Lösung: 0.5

Danke nochmal

Yokozuna aktiv_icon

23:41 Uhr, 17.01.2012

Hallo,

vielleicht sollten wir uns doch noch einmal darüber unterhalten, wie Du zu Deinem Ergebnis gekommen bist. Ich habe was anderes herausbekommen

(1.0)

. Es kann natürlich sein, daß ich mich verrechnet habe oder daß ich das Vektorfeld falsch interpretiert habe. Da stand doch

\vec{v} (\vec{x}) = (\begin{matrix} \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} \\ 0 \end{matrix}),

also die obere Komponente ist

\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}

und die untere Komponente ist 0. Ist dies so richtig?
Eine andere Fehlerquelle wäre noch, daß die 3 Kurvenstücke beim Integrieren nicht im gleichen Umlaufsinn durchlaufen wurden. Ich habe nochmal mein Bild angehängt und die 3 Eckpunkte mit

A, B

und

C

bezeichnet. Also die 3 Kurvenstücke sollten so parametrisiert sein, daß der Rand des Gebiets

z . B

. so durchlaufen wird: von A nach

B,

von

B

nach

C

und dann von

C

nach A (von

B

nach

C,

von

C

nach A und von A nach

B

liefert das gleiche Ergebnis).
Wird die Randkurve in der anderen Richtung durchlaufen, also von A nach

C,

von

C

nach

B

und von

B

nach

A,

erhält man das gleiche Ergebnis wie zuvor, aber mit umgekehrten Vorzeichen. Die gesamte Randkurve muß auf jedenfall fortlaufend in einer Richtung durchlaufen werden.

Falsch wäre dagegen

z . B .,

wenn die 3 Kurvenstücke

z . B

. so durchlaufen werden: von A nach

B,

von

B

nach

C

und das 3. Teilstück von A nach C. Die ersten beiden Teilstücke werden im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen und das 3. Teilstück im Uhrzeigersinn.
Vielleicht schaust Du da nochmal drauf.

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

11:25 Uhr, 18.01.2012

Vielen Dank für die Mühe. Ich bin gegen den Uhrzeigersinn gelaufen. Einmal auch im Uhrzeigersinn, dann habe ich

- 0.5

bekommen.

Hier meine Rechnung, die Kurven habe ich oben schon parametrisiert:

\int_{1}^{2} v (C_{1}) C_{1}' (t) d t + \int_{2}^{4} v (C_{3}) C_{3}' (t) d t + \int_{2}^{1} v (C_{2}) C_{2}' (t) d t = \int_{1}^{2} (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) d t + \int_{2}^{4} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 2 t \end{matrix}) d t + \int_{2}^{1} (\begin{matrix} \frac{4}{t} \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) d t

= \int_{1}^{2} t d t + \int_{2}^{4} 0 d t + \int_{2}^{1} 1 d t = 1.5 - 1 = 0.5

Stimmt das so?

Schönen Gruß

virus

Edit von Shipwater: "Überbreite" des Threads behoben

Yokozuna aktiv_icon

12:41 Uhr, 18.01.2012

Auf der rechten Seite hast Du 2 Integranden vertauscht. Da sollte stehen

\int_{1}^{2} (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot d t + \int_{2}^{4} (\begin{matrix} \frac{4}{t} \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \cdot d t + \int_{2}^{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 t \end{matrix}) \cdot d t =

\int_{1}^{2} t \cdot d t + \int_{2}^{4} 0 \cdot d t + \int_{2}^{1} 1 \cdot d t = = {[\frac{1}{2} \cdot t^{2}]}_{1}^{2} + 0 + {[t]}_{2}^{1} = (2 - \frac{1}{2}) + 0 + (1 - 2) = \frac{1}{2}

aber das hast Du wahrscheinlich nur beim Schreiben vertauscht, denn Dein Ergebnis

\frac{1}{2}

ist doch richtig. Ich hatte mich gestern
beim ersten Integral um

\frac{1}{2}

verrechnet (wahrscheinlich war ich einfach zu müde, ich war zuvor fast 4 Stunden zu Fuß unterwegs).
Sorry, daß ich da unnötig die Pferde scheu gemacht habe.

Viele Grüße
Yokozuna

virus01 aktiv_icon

21:43 Uhr, 18.01.2012

Egal, jetzt kann ich die Aufgaben aus dem Schlaf.

Vielen Dank für die Hilfe.

Schönen Gruß,

Virus

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