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Ein Junge geht in den Laden und kauft vier Dinge.

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Tinkerbell

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20:08 Uhr, 06.08.2008

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ich brauche den Weg und die Lösung Danke


Ein Junge geht in den Laden und kauft vier Dinge. Die Kassiererin multipliziert die Preise anstatt sie zu addieren. Zufälliger weise kommt sie trotzdem auf den gleichen Preis, als wenn sie die Preise addiert hätte. 7,11 Euro Was haben die vier Dinge gekostet?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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JensW

JensW aktiv_icon

14:47 Uhr, 07.08.2008

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Loesung:
3,16
1,25
1,5
1,2
Summe
7,11

Primzahlzerlegung
3,16=79 *2*2 /100
1,25=1 *5*5*5/100
1,5= 3 *5 /10
1,2= 3 *2*2 /10
Podukt
711 /100
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JensW

JensW aktiv_icon

14:58 Uhr, 07.08.2008

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Loesungsweg

Primzahlzerlegung

Bausteine die infrage kommen sind nur Faktoren 3 79 2 und 5

Offensichtlich stellt die 79 dabei den Hauptsnsatzpunkt dar das sie nur in wenigen Vielfachen als Summand in 711 passt

In der Komma schreibweise stellt man fest das man mit den anderen zahlen in der letzten stelle nur Einrtaege 5 in Frage weil man mit zuvielen Faktoren 2 NAch dem Komma Faktoren 5 vor dem Komma Braucht aber eine einzelne 5 vor dem Komma schon die beschraenkung der Summe sprengt.

Deshalb kommt fuer den Term in dem 0.79 steck nur 4*0,79 in Frage

Danach braucht man dann einen Term der x,y5 Aufgebaut ist

es kommen dafuer also vielfache von 0,25
Dann die Summanden so aufbauen das die Summe Stimmt Anfangen mit
In Frage
Der rest ist Trial and error wobei man immer darauf achte das die Bilanz der Faktoren stimmt
also Faktoren 3 Und gleich viele Faktoren 5 und 2
Das sind dann nur eine Hand voll Moeglichkeiten die man Bequem durchchecken kann
Antwort
Borsi

Borsi aktiv_icon

23:44 Uhr, 07.08.2008

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Hallo,

Also ich habe auch eine ähnliche Lösung, auf die ich durch einen dummen Rechenfehler gekommen bin.

Leider habe ich aber keinen richtigen Rechenweg:

Ansatz:

Ware 1:x
Ware 2:y
Ware 3:z
Ware 4:w

Nun stellt man 2 Gleichungen auf:

I. x+y+z+w=7,11
II. x⋅y⋅z⋅w=7,11

Da wir nun zwei Gleichungen haben aber 4. Variablen ist diese Gleichung überbestimmt, deshalb wählen für z und w einen Parameter der eine bestimmte Zahl aus dem Zahlenbereich aller rationelen Zahlen ist.

⇒
I. x+y+2c=7,11
II. x*y*c²=7,11

Nun lösen wir die 2 Gleichungen nach einer Variablen auf.
Ab hier komme ich nicht richtig weiter!!


Lösung dank Exel:

x:3,06272y:1z:1,52364w:1,52364
Ergebnis durch Multiplikation: 7,110039702
Ergebnis durch Addition: 7,11

Differenz: 3,97022E-05

Mfg BorSi




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m-at-he

m-at-he

00:34 Uhr, 08.08.2008

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Hallo,

ich habe die Erklärung von JensW nicht ganz nachvollziehen können, deshalb hier mal eine ausführlichere Version mit ähnlichem Ansatz:

Die Preise sind a,b,c und d( in Cent !!! Das sind dann ganze Zahlen) und es gilt:

a+b+c+d=a⋅b⋅c⋅d106=711

106⋅(a+b+c+d)=a⋅b⋅c⋅d=711⋅106

Primfaktorzerlegungen von 711 und 106:

711=32⋅79
106=26⋅56
711⋅106=26⋅32⋅56⋅79

Einer der Preise enthält den Faktor 79, das sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit der erste Preis! Damit die Summe von 711 nicht verletzt wird, darf der Quotient aus erstem Preis und 79 nicht größer als 8 werden (9 bedeutet ja schon 711!). Die durch die Primfaktorzerlegung möglichen Faktoren für die 79 sind also: 1,2,3,4,5,6 und 8, es gibt somit 7 Fälle:

Fall 1:8⋅79
Die Summe der anderen Preise müßte 79 sein und das Produkt 1125000, das geht nicht! (3-te Wurzel aus Restprodukt mal 3 ist größer als Restsumme)

Fall 2:6⋅79
Die Summe der anderen Preise müßte 237 sein und das Produkt 1500000, das geht nicht! (3-te Wurzel aus Restprodukt mal 3 ist größer als Restsumme)

Fall 3:5⋅79
Die Summe der anderen Preise müßte 316 sein und das Produkt 1800000, das geht nicht! (3-te Wurzel aus Restprodukt mal 3 ist größer als Restsumme)

Fall 4:4⋅79
Die Summe der anderen Preise müßte 395 sein und das Produkt 2250000, das könnte gehen!

Fall 5:3⋅79
Die Summe der anderen Preise müßte 474 sein und das Produkt 3000000, das könnte gehen!

Fall 6:2⋅79
Die Summe der anderen Preise müßte 553 sein und das Produkt 4500000, das könnte gehen!

Fall 7:79
Die Summe der anderen Preise müßte 632 sein und das Produkt 9000000, das könnte gehen!

Damit haben wir genau 4 Fälle für die erste Zahl:
zu Fall 4:4⋅79
Die Faktorzerlegung des Restproduktes ist:
2250000=24⋅32⋅56
Die Restsumme ist: 395
Es ist ausgeschlossen, daß eine der 3 restlichen Zahlen alle Faktoren der 5 enthält, weil 39556<1 ist. Also enthalten mindestens 2 der restlichen Zahlen den Faktor 5, diese beiden Zahlen enden auf "0" oder "5"! Enden beide auf "0" oder beide auf "5", muß auch die dritte Zahl wegen der Summe auf "5" enden und enthält damit ebenfalls den Faktor 5. Endet eine der beiden Zahlen auf "0" und die andere auf "5", so muß die dritte Zahl auf "0" enden und damit ebenfalls den Faktor 5 enthalten. Fazit: Alle restlichen Zahlen enthalten den Faktor 5 mindestens 1 Mal und maximal 4 Mal! Für die Faktoren 5 gibt es damit absteigend sortiert genau 3 Möglichkeiten für die Verteilung auf die 3 restlichen Zahlen:
4;1;1- Das geht nicht! (Erster Summand ist mindestens 625>395)
3;2;1
2;2;2- Das geht nicht! (Die Restsumme müßte dann durch 25 teilbar sein)

Was sind die möglichen Teiler aus dem Restprodukt 24⋅32:
1;2;3;4;6;8;9;12;16;18;24;36;48;72;144-144 geht nicht! (>79=3955)

Seien die 3 Restfaktoren aus den Primzhlen 2 und 3 kombiniert die Zahlen r,s und t, dann gilt:

53⋅r+52⋅s+5⋅t=395⇒52⋅r+5⋅s+t=79
und
r⋅s⋅t=144
und
r∈{1;2;3},s∈{1;2;3;4;6;8;9;12}, wobei s=9 ausgeschlossen ist für r=3! Auch r=s= 1geht nicht, da dies zu t=144 führen würde. Der Wert für t ergibt sich dann. Machen wir uns eine Tabelle für diese 22 Möglichkeiten:

r;s;t;25⋅r+5⋅s+t; Relation zu 79
1;2;72;107;>79
1;3;48;88;>79
1;4;36;81;>79
1;6;24;79;=79!!!
1;8;18;83;>79
1;9;16;86;>79
1;12;12;97;>79
2;1;72;127;>79
2;2;36;96;>79
2;3;24;89;>79
2;4;18;88;>79
2;6;12;92;>79
2;8;9;99;>79
2;9;8;103;>79
2;12;6;116;>79
3;1;48;128;>79
3;2;24;109;>79
3;3;16;106;>79
3;4;12;107;>79
3;6;8;113;>79
3;8;6;121;>79
3;12;4;139;>79

Es gibt in diesem Fall genau eine Lösung:
4⋅79;1⋅53;6⋅52;24⋅5 entspricht 316;125;150;120 oder in Euro 3,16;1,25;1,50;1,20

zu Fall 5:3⋅79
Die Faktorzerlegung des Restproduktes ist:
3000000=26⋅3⋅56
Die Restsumme ist: 474
Es ist ausgeschlossen, daß eine der 3 restlichen Zahlen alle Faktoren der 5 enthält, weil 47456<1 ist. Also enthalten mindestens 2 der restlichen Zahlen den Faktor 5, diese beiden Zahlen enden auf "0" oder "5"! Enden beide auf "0" oder beide auf "5", muß die dritte Zahl wegen der Summe auf "4" enden und enthält damit den Faktor 5 nicht! Endet eine der beiden Zahlen auf "0" und die andere auf "5", so muß die dritte Zahl auf "9" enden und kann damit ebenfalls den Faktor 5 nicht enthalten! Fazit: Genau 2 der restlichen Zahlen enthalten den Faktor 5. Da eine Zahl die den Faktor 5 mehr als 3 Mal enthält bereits größer ist als die Restssumme, müssen diese beiden Zahlen den Faktor 5 jeweils genau 3 Mal enthalten! Damit können diese Zahlen nur 125 oder 250 sein, wobei nicht beide gleichzeitig 250 sein können. Das ergibt die Fälle:

125;125;274
125;250;99

In beiden Fällen sind die Produkte nicht 3000000.

zu Fall 6:2⋅79
Die Faktorzerlegung des Restproduktes ist:
4500000=25⋅32⋅56
Die Restsumme ist: 553
Es ist ausgeschlossen, daß eine der 3 restlichen Zahlen alle Faktoren der 5 enthält, weil 55356<1 ist. Also enthalten mindestens 2 der restlichen Zahlen den Faktor 5, diese beiden Zahlen enden auf "0" oder "5"! Enden beide auf "0" oder beide auf "5", muß die dritte Zahl wegen der Summe auf "3" enden und enthält damit den Faktor 5 nicht! Endet eine der beiden Zahlen auf "0" und die andere auf "5", so muß die dritte Zahl auf "8" enden und kann damit ebenfalls den Faktor 5 nicht enthalten! Fazit: Genau 2 der restlichen Zahlen enthalten den Faktor 5. Da eine Zahl die den Faktor 5 mehr als 3 Mal enthält bereits größer ist als die Restssumme, müssen diese beiden Zahlen den Faktor 5 jeweils genau 3 Mal enthalten! Damit können diese Zahlen nur 125,250 oder 375 sein. Das ergibt die Fälle:

125;125;303
125;250;178
125;375;53
250;250;53

In allen Fällen sind die Produkte nicht 4500000.

zu Fall 7:79
Die Faktorzerlegung des Restproduktes ist:
9000000=26⋅32⋅56
Die Restsumme ist: 632
Es ist ausgeschlossen, daß eine der 3 restlichen Zahlen alle Faktoren der 5 enthält, weil 63256<1 ist. Also enthalten mindestens 2 der restlichen Zahlen den Faktor 5, diese beiden Zahlen enden auf "0" oder "5"! Enden beide auf "0" oder beide auf "5", muß die dritte Zahl wegen der Summe auf "2" enden und enthält damit den Faktor 5 nicht! Endet eine der beiden Zahlen auf "0" und die andere auf "5", so muß die dritte Zahl auf "7" enden und kann damit ebenfalls den Faktor 5 nicht enthalten! Fazit: Genau 2 der restlichen Zahlen enthalten den Faktor 5. Da eine Zahl die den Faktor 5 mehr als 4 Mal enthält bereits größer ist als die Restssumme, müssen diese beiden Zahlen den Faktor 5 entweder jeweils genau 3 Mal enthalten oder sich zu 4 bzw. 2 Faktoren aufteilen! Teilen sie sich die Faktoren zu 4 und 2 auf, dann ist die Summe dieser beiden Zahlen aber wieder größer als 632,d.h. diese beiden Zahlen enthalten den Faktor 5 jeweils genau 3 Mal! Damit können diese Zahlen nur 125,250,375 oder 500 sein. Das ergibt die Fälle:

125;125;382
125;250;257
125;375;132
125;500;7
250;250;132
250;375;7

In allen Fällen sind die Produkte nicht 9000000.

einziges Ergebnis: 3,16;1,25;1,50;1,20
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