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Ein Schiff fährt von A nach B, das andere C nach A

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: fahren, NM, Ortsänderung, Schiff, Zeit

Lissy-L aktiv_icon

18:17 Uhr, 09.06.2009

Zu dieser Aufgabe, bekomme ich einfach keine sinnige Lösung! NM sind nautische Meilen um nicht für die Zeitrechnung auf km/h umstellen zu müssen:

Ein Schiff, das mit einer Geschwindigkeit von 30 Knoten von A nach B fährt, peilt um 10 Uhr ein anderes Schiff, das mit 20 Knoten von C in Richtung A fährt unter einem Winkel von 60° in 8 NM Entfernung an.

Um wie viel Uhr ist der Abstand beider Schiffe am geringsten, und wie groß ist dieser Abstand?

Ich wäre für eine ausführliche Lösung / Erklärung sehr dankbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Jackie251 aktiv_icon

15:48 Uhr, 10.06.2009

also bevor man zuviel aufwand treibt:

in welcher Komplexibilität dart die Antwort liegen?
Die vorliegende Aufgabenstellung KANN kein eindeutiges Ergebniss liefern, er fehlen dazu angaben. Es gibt keine beziehung zwischen den schiffen, die entfernung AB oder CA sind nicht bekannt, auch ist nicht bekannt wo sich das 1. schiff auf der Strecke AB befindet.
möglich wäre das es sehr sehr weit von a enfernt ist, dann hätten die schiffe fast parallelkurs. andererseits kann schiff 1 auch

10

Uhr direkt an A starten und die Peilung vornehmen.

Die lösung wäre daher nur in form einer gleichung möglich, die die fehlenden parameter abfragt. Das ist nicht "schwer" aber doch ein erhöhter aufwand..

ich vermute eher das die aufgabenstellung fehlerhaft ist.
würde schiff 1 von

B

richtung A fahren wäre die aufgabenstellung eindeutig. dann bilden Schiff1, Schiff2 und A ein dreieck von dem die innenwinkel und eine seite bekannt wäre.

Lissy-L aktiv_icon

14:58 Uhr, 12.06.2009

Die Aufgabenstellung ist nicht fehlerhaft und die Aufgabe ist lösbar!!!

Jackie251 aktiv_icon

08:56 Uhr, 15.06.2009

nichts anderes haben ich behauptet...

lediglich ist sie nicht EINDEUTIG lösbar - es gibt mehrere lösungen in abhängigkeit fehlendern Angaben.

Aber du könntest uns ja an deiner Lösung Teilhaben lassen, statt mit 3 Ausrufezeichen dieses Statement abzugeben.
Das wäre hilfreicher.

Lissy-L aktiv_icon

11:00 Uhr, 01.07.2009

Ja leider habe ich ja weder einen Ansatz noch Teillösungen!!! Es gibt die gleiche Aufgabe zwar hier im Forum, ich verstehe diese aber nicht einmal ansatzweise...

Jackie251 aktiv_icon

12:27 Uhr, 01.07.2009

Ja es gibt solche aufgaben, aber dort ist der sachverhalt eben nur ähnlich.
auch heute, ein paar wochen nach der eigentlichen frage, sehe ich noch nicht das eine eindeutige lösung möglich ist.

ich kann mich natürlich irren :-)
allerdings halte ich es durchaus für ein zeichen, das niemand geantwortet hat.
üblicherweise findet sich ja dann doch jemand der den lösungsweg sieht.

Lissy-L aktiv_icon

15:39 Uhr, 01.07.2009

Es gibt die gleiche Aufgabe schon einmal, wei ich festgestellt habe. Da lautet der Lösungsansatz wie folgt:

ansatz:

die x achse sei auf der strecke AC auf der das zweite schiff in richtung ursprung schippert:

x2(t)=-v2t+xc

(A liegt im ursprung)
das erste schiff, das sich vormittags entschliesst, in richtung des eben gennanten zu steuern, faehrt von einem willkuerlichen punkt auf der y-achse los, in richtung C.
der winkel, mit dem dieses schiff auf die x-achse treffen wird, ist φ:

x1(t)=v1cos(φ)t
y1(t)=-v1sin(φ)t+y0

y0=Lsin(φ)
L sind die 8 NM.

der abstand beider schiffe ist eine funktion der zeit:

d(t)=((x1-x2)2+y12)1/2

das ding ableiten, null setzen, zeit ausrechnen und in die koordinaten einsetzen...

Aber ich raff es nicht!!!

Edddi aktiv_icon

15:59 Uhr, 01.07.2009

...Jacki hat natürlich recht...wie bei Textaufgaben üblich ist eine Skizze immer hilfreich...

Stell' die gegebenen Werte dar, und du siehst, das eine eindeutige Lösung nicht möglich ist.
Was soll denn

z . B

. überhaupt die Angabe mit

10.00

Uhr? Es existiert kein weiterer absoluter Zeitbezug...es könnte also ebensogut auch um halb elf, oder sonstewann gewesen sein...

;-)

Lissy-L aktiv_icon

16:38 Uhr, 01.07.2009

Wie würde denn eine Nährungslösung aussehen?! Es können dann doch Formeln übrig bleiben?!

Edddi aktiv_icon

08:44 Uhr, 02.07.2009

Skizziere dir wie folgt:

Strecke AB ist unbekannt, Punkt A im Ursprung (0,0)...Punkt

B

irgendwo auf der Y-Achse.

Im Winkel von 60° und 8 (Entfernung in naut. Meilen) ist Schiff 2...auch dieses fährt nach

A,

also Richtung Ursprung.

Berechnung der Koordinaten von Schiff 2 ist Abhängig von Pos. Schiff

1 .

Schiff 1 fährt entlang Y-Achse und ist um 10Uhr bei

y_{0}

Koordinaten von Schiff

1 :

x_{1} = 0

y_{1} = y_{0}

Koordinaten Schiff 1 nach Zeit

t :

x_{1} = 0

(logisch, fährt ja entlang Y-Achse)

y_{1} = y_{0} + v \cdot t = y_{0} + 30 \cdot t

Koordinaten von Schiff

2 :

x_{2} = \sqrt{48} (8

NM auf 30° - halb. gl.-seit.-Dreieck)

y_{2} = y_{0} + 4 (8

NM auf 30° - halb. gl.-seit.-Dreieck)

Koordinaten Schiff 1 nach Zeit

t :

x_{2} = \sqrt{48} - 20 \cdot cos (α) \cdot t

y_{1} = y_{0} + 4 - 20 \cdot sin (α) \cdot t

(Übrigens

- 20 \cdot sin

und

20 \cdot cos

sind die vekt. Geschw. bezgl. X-Y-Achsen)

Als Entfernung in Abhängigkeit der Zeit erhalten wir also:

δ x = \sqrt{48} - 20 \cdot cos (α) \cdot t

δ y = y_{0} + 4 - 20 \cdot sin (α) \cdot t - y_{0} - 30 \cdot t = 4 - (30 + 20 \cdot sin (α)) \cdot t

A (t) = \sqrt{{(\sqrt{48} - 20 \cdot cos (α) \cdot t)}^{2} + {(4 - (30 + 20 \cdot sin (α)) \cdot t)}^{2}}

Vereinfache ich nun noch den Ausdruck

cos (α) = p

und

sin (α) = \sqrt{1 - p^{2}},

dann sieht's so aus:

A (t) = \sqrt{{(\sqrt{48} - 20 \cdot p \cdot t)}^{2} + {(4 - (30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}}) \cdot t)}^{2}}

Das Zeitminimum ist somit von Parameter

p

abhängig.

...So...schönes Schmankerl...

α

ist der Winkel, unter dem Schiff 2 von

C

nach A (Ursprung) einläuft.

Der Minimalste Winkel ist also 30°, und das ist der Fall, das Schiff 1 um

10.00

Uhr an Punkt A startet.
Dieser Winkel kann aber bis annähernd 90° gehen, für den Fall das Schiff 1 um

10.00

Uhr schon etliche Meilen hinter sich gebracht hat auf seiner Reise nach

B .

Dadurch verschiebt sich auch der Zeitpunkt des minimalsten Abstands.

Hier jetzt also die Zeitdauer (Fahrt von Schiff

1)

für den minimalsten Abstand, abhängig von

cos (α),

also somit von Position

y_{0}

von Schiff 1 um

10.00

Uhr:

Dieser beträgt für

y_{0} = 0; m = \frac{y_{0} + 4}{\sqrt{48}};

alpha=arctan(4/sqrt(48)); alpha=30° also

cos (α) = p = 0,866

stolze

0,147

Stunden

. .

. Strecke jetzt bitte selbst berechnen ...sollte ja nun nicht mehr so schwer sein.

Für

y_{0} = 50

nautische Meilen sieht's dann so aus:

y_{0} = 50; m = \frac{50 + 4}{\sqrt{48}};

alpha=arctan(54/sqrt(48)); alpha=82,69° also

cos (α) = p = 0,1272

stolze

0,086

Stunden

. .

. Strecke jetzt bitte selbst berechnen ...sollte ja nun nicht mehr so schwer sein.

...ich könnt' jetzt noch größerer Strecken wählen, aber da würden schon die Abweichungen der sphährischen Dreiecke bedeutend werden...ausserdem kann man dann auch wegen der Krümmung das 2. Schiff nicht mehr sehen.

Fazit:

Deine Frage macht nur dann Sinn, wenn es

z . B

. hieße: Schiff 1 "STARTET" um

10.00

Uhr von Punkt A nach Punkt B...bla...bla..bla...

Dann wäre der minimalst Abstand um

10.09

Uhr erreicht...

...so, jetzt tun' mir die Finger weh'...

..na gut, ich leite dir den obigen Ausdruck noch ab:

A (t) = \sqrt{f (t)}

A' (t) = 0 = [\sqrt{f (t)}]' = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{f (t)}} \cdot f' (t)

somit:

f' (t) = 0

f (t) = {(\sqrt{48} - 20 \cdot p \cdot t)}^{2} + {(4 - (30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}}) \cdot t)}^{2}

f (t) = 48 - 40 \cdot \sqrt{48} \cdot p \cdot t + 400 \cdot p^{2} \cdot t^{2} + 16 - 8 \cdot (30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}}) \cdot t + {(30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}})}^{2} \cdot t^{2}

f' (t) = - 40 \cdot \sqrt{48} \cdot p + 800 \cdot p^{2} \cdot t - 8 \cdot (30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}}) + 2 \cdot {(30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}})}^{2} \cdot t = 0

(800 \cdot p^{2} + 2 \cdot {(30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}})}^{2}) \cdot t = 40 \cdot \sqrt{48} \cdot p + 8 \cdot (30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}})

t = \frac{40 \cdot \sqrt{48} \cdot p + 8 \cdot (30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}})}{800 \cdot p^{2} + 2 \cdot {(30 + 20 \cdot \sqrt{1 - p^{2}})}^{2}}

...lass' dir den Graphen aufzeichnen..er liefert ebenfalls für

p = 0,866

(30°) eine Zeit

t

von

0,147

und maximal bei

p = 1

eine Dauer von

0,19889 . .

...so, jetzt mach' ich aber Frühstück...

;-)

Lissy-L aktiv_icon

09:44 Uhr, 02.07.2009

Oh wie geil ist das denn!!! Ja Schiff startet einfach um zehn! Ich glaube, dass ist eine tolle Interpretation der Aufgabe, da auf dem Lösungsbogen nur ein Feld für die Uhrzeit und die Strecke ist!!!

Jetzt pinn ich mir den Rummel mal ab und gucke was ich damit anfangen kann!!!

Danke

Aber wenn noch was ist, frag ich lieber nochmal!!! Ja, zack da is schon was, das versteh ich nicht:

Koordinaten von Schiff 2:

x2=48(8 NM auf 30° - halb. gl.-seit.-Dreieck) warum auf 30°!!!

y2=y0+4(8 NM auf 30° - halb. gl.-seit.-Dreieck)

Edddi aktiv_icon

09:56 Uhr, 02.07.2009

..hast du dir's aufskizziert?

Schiff

1

in Fahrtrichtung

B

(entlang der Y-Achse) misst Winkel von 60° zu Schiff

2 .

Das bedeutet dann einen Winkel von 30° von Schiff 2 zur X-Richtung.

Die 8 NM sind dann die Hypothenuse, und

d y = 4

NM, da

\frac{d y}{8} =

sin(30°)=cos(60°)

...ich hätte also auch mit den 60° rechnen können...hab's aber nun mal mit dem Komplementärwinkel gerechnet..geht ja auch...

Grüße

;-)

Lissy-L aktiv_icon

10:12 Uhr, 02.07.2009

Ich hatte zuvor schon gezeichnet... Da lag dann mein Fehler nicht weit genug zu denken!!! Logischer Weise sind es 30° bei x0 zu y0 (Innenwinkel = 180° und 180-90-60 sind nunmal 30°) Die sah noch so aus:

Edddi aktiv_icon

10:26 Uhr, 02.07.2009

...meine Grundlage war diese Skizze:

;-)

Lissy-L aktiv_icon

10:52 Uhr, 02.07.2009

Ergo: ICH RAFF MAL WIEDER GAR NIX!!! Ich versuch jetzt erstmal Deine Rechenschritte nachzuvollziehen und HERAUSZUFINDEN wie ich die Strecke um 10:09 Uhr berechne...

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10:54 Uhr, 02.07.2009

...Ich glaub' ganz fest an dich!!!!

...wenn nicht, ich schau öfter mal rein...

;-)

Lissy-L aktiv_icon

11:04 Uhr, 02.07.2009

Das wäre natürlich super von Dir, denn immerhin scheinst Du meine letzte Hoffnung zu sein!

Wichtig ist dann auch noch, dass ich die ganze Sache auch noch verallgemeinere, damit ich ggf. in der Klausur am kommenden Dienstag auf eventuelle Abweichungen reagieren kann!!!

Ich bin Dir wirklich sehr dankbar, da sich die Kommilitonen hier im Forum noch nicht zurück gemeldet haben und die älteren Semester an der FH etwas deutlich mauern...

Hier hast schon eingesetzt???:

Koordinaten Schiff 1 nach Zeit t:

x2=48-20⋅cos(α)⋅t
y1=y0+4-20⋅sin(α)⋅t

Oder sind es die Koordinaten von Schiff 2 nach t und y1 soll y2 heißen?!

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11:58 Uhr, 02.07.2009

...ich sehe, du versuchst meinen Beitrag zu verstehen....und es ist genauso, wie du es vermutet hast...das

y_{1}

ist ein Kopierfehler....es soll natürlich

y_{2}

heißen und gibt die Position (x-y-Koordniate) des Siffes 2 nach der Zeit

t

an.

...weiter so...

..ich ess' erst ein mal ein paar Happen....

;-)

Lissy-L aktiv_icon

12:00 Uhr, 02.07.2009

Ja hab ich mir doch richtig zusammen gesammelt... Prima, et kütt!

Aber irgendwie sagt mir mein Rechner für p=0,866, dass t = 0,835863 sei... Ich habe es jetzt schon mehrmals überprüft, ob ich mich vertippt habe...

Und die Strecke kriege ich natürlich auch nicht geschissen, mach da aber erstmal noch weiter...

Edddi aktiv_icon

13:34 Uhr, 02.07.2009

...ja...rechne nochmal in Ruhe nach...wie gesagt, mein Proggi (WZ-Grapher) gibt mir einen wunderschönen Verlauf für die Funktion

t (x)

bzw.

t (p)

und wenn du dann die Zeit hast, kannst du auch den Abstand mittels oben ganannter Formel

A (t) = \sqrt{{(. . p . . t .)}^{2} + {(. . p . . t .)}^{2}}

berechnen

;-)

Lissy-L aktiv_icon

13:53 Uhr, 02.07.2009

Ach ich weiß auch nicht.... Ich kriege mit Deinem Programm auch komische Ergebnisse... Siehe Bild

$t = \frac{160 * \sqrt{1 - p²} + 160 * p * \sqrt{3} + 240}{760 * p² + 100} t = \frac{4 * (2 * \sqrt{1 - p²} + 2 * p * \sqrt{3} + 3)}{38 * p² + 5} t (p = 0, 866) = 0, 835863$

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14:09 Uhr, 02.07.2009

...bei mir sieht's so aus:

;-)

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14:14 Uhr, 02.07.2009

Hab den Fehler gefunden... Eine SCHEISSKLAMMER ZU WENIG!!! VERDAMMTE HACKE...

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14:15 Uhr, 02.07.2009

...du erinnerst mich an Dexters Schwester...ihr fäkales Vokabular kannte auch keine Grenzen...

;-)

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14:21 Uhr, 02.07.2009

Ja war alles Mist!!! Wie gesagt!!!

Jetzt habe ich t=0,1474

um an die Uhrzeit 10:09 zu kommen habe ich t*60 = 8,84211 gerechnet. Die Uhrzeit ergibt sich also als t0+t~10:09, richtig??!!!

Edddi aktiv_icon

14:23 Uhr, 02.07.2009

...Juuuubel......Juuuuuchuuuuuuu....

heeeyyy....suuuuper......jiiipppeeeeee....

;-)

Lissy-L aktiv_icon

14:26 Uhr, 02.07.2009

Manno... Mach Dich nicht lustig...:-P ;-D

Ich hab nur Bürokauffrau gelernt und im Fachabi gab es sowas nicht zum üben... Außerdem ist Mathe schon immer ein A...loch gewesen

Jetzt will ich aber das mit der Strecke hinbekommen! Ich denke mir, dass es in diesem Fall dann "s0"-"s" sein sollte, da die s0=8NM wohl um s reduziert wird, richtig?!

Mal sehen was daraus wird...

Edddi aktiv_icon

14:34 Uhr, 02.07.2009

...na..na...so einfach ist das nun wieder auch nicht.

Entweder berechnest du jetzt beide Positionen für

t = 0,147

bei

p = 0,866

oder du setzt beide Werte in

A (t)

ein.

Die Formel steht gaaanz oben...war ja unsere Ausgangsfomel, und gibt den Abstand in Abhängigkeit von

t

und

p

an.

Willst du es aber von Hand (über die Positionen) machen dann:

x_{1} (t) = 0

(ändert sich nicht)

y_{1} (t) = 0 + v_{1} \cdot t = 30 \cdot t = 4,41

(da du bei

p = 0,866

von

y_{0} = 0

ausgehst)

x_{2} (t) =

...das mit dem Sinuskram

y_{2} (t) = ...

...und dann den Pythagoras... letztendlich hast du doch das gerechnet, was oben uneter

A (t) = \sqrt{f (t)}

steht

;-)

Lissy-L aktiv_icon

15:24 Uhr, 02.07.2009

;-)

Ist die Lösung 4,77NM

;-)

Hab gerade mal nen zweiten Ansatz getestet:

$x_{} = 30 * t y = 8 - 20 * t$

nach Kosinussatz ist:

z² = x² + y² - x * y

z² = 900t² +400t² +600t² -320t -240t +64

$z (t) = \sqrt{900 t² + 400 t² + 600 t² - 320 t - 240 t + 64}$

zmin = Ableitung nach der Zeit und gleich Null setzen:

=> 3800t-560=0

t=0,1474 = 8,842 Min oder 8 Min 50,5 Sek.

t in z(t) einsetzen und ausrechnen:

zmin = 4,77 NM

Edddi aktiv_icon

15:31 Uhr, 02.07.2009

...jau...ich krieg' als grafische Lösung auch rund

4,77

raus...

...und wenn 2 verschiedene Verfahren das gleiche Ergebniss bringen...dann sollte es doch passen.

...hast du also SUPER gemacht...

...bis baldi

;-)

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