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Ein Würfel werde zwei Mal geworfen ....

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

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neen1

neen1 aktiv_icon

23:48 Uhr, 18.10.2010

Antworten

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit dieser Ereigniss:

.)Produkt der Augenzahlen ungerade.

.)Erste Wurf zeigt eine kleinere Augenzahl als der 2.

.)Es werden verschiedene Augenzahlen geworfen und die kleinere ist gleich r, 1<=r<=5

Man könnte das ganze mit simplen abzählen lösen ... allerdings würde das bei

20 würfen nicht mehr so einfach gehn ...

Wie kann ich das also sonst lösen?

danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Aurel

00:43 Uhr, 19.10.2010

Antworten

.)Produkt der Augenzahlen ungerade:

P =

Anzahl der günstigen Fälle dividiert durch Anzahl der möglichen Fälle

1)

Die günstigen Fälle lauten:

1,1

1,3

1,5

3,1

3,3

3,5

5,1

5,3

5,5

Also 9 an der Zahl.

Anzahl der möglichen Fälle

= 36

P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}

Bei den weiteren Aufgaben verfährte genauso: Anzahl der gemäß der Aufgabenstellung günstigen Fälle ermitteln und durch die Anzahl der Fälle dividieren, die gemäß der Aufgabenstellung insgesamt eintreten können.

Antwort

BjBot

BjBot aktiv_icon

00:52 Uhr, 19.10.2010

Antworten

Ich glaub du hast seine Frage nicht verstanden oder nicht alles gelesen.
Dass man abzählen kann ist ihm ja soweit klar.

Antwort

teppich

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01:01 Uhr, 19.10.2010

Antworten

Ein Hinweis zu (a): Eine Zahl ist ungerade, wenn sie NICHT ohne Rest durch

2

teilbar ist. Das Produkt von beliebig vielen natürlichen Zahlen ist also genau dann ungerade, wenn kein Faktor gerade ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augenzahl eines Würfels ungerade ist, beträgt

\frac{1}{2}

.

P ("

Produkt der Augenzahlen ungerade

") = P ("

alle Augenzahlen ungerade

") = {(\frac{1}{2})}^{n}

, wobei

n

die Anzahl der Würfel ist.

Generell ist es beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ratsam, sich Eigenschaften der Ereignisse zu vergegenwärtigen.

Antwort

Aurel

18:15 Uhr, 20.10.2010

Antworten

Ja ich sehe, möglicherweise hast du deine Frage etwas anders gemeint als ich sie verstanden habe.
Ich dachte, du möchtest die Wahrscheinlichkeit

p

für das Ereignis "2x Würfeln" - unter der Bedingung der ungeraden Produkte wissen, damit du bei

z . B,

20-facher Wiederholung dieses Ereignisses nicht abzählen musst, sondern einfach

p^{20}

rechnen kannst.

neen1

neen1 aktiv_icon

22:28 Uhr, 20.10.2010

Antworten

danke für die Antworten!

leider hänge ich bei den restlichen Punkten immer noch, hat hier jemand einen Tipp?

Antwort

Aurel

22:55 Uhr, 20.10.2010

Antworten

gelöscht

Antwort

Aurel

23:16 Uhr, 20.10.2010

Antworten

gelöscht

neen1

neen1 aktiv_icon

23:32 Uhr, 20.10.2010

Antworten

danke!

also die Lösung ist nicht so das Problem:

für 2.) 15/36

3.) (6-k)/18

nur der Lösungsweg ist mir nicht klar ^^

Antwort

Aurel

23:36 Uhr, 20.10.2010

Antworten

2)

Ja für

2 x

Würfeln hatte ich auch

\frac{15}{36},

aber ich dachte du möchtest die allg. Formel für

n

mal würfeln, daher hab ichs wieder gelöscht ;-)

neen1

neen1 aktiv_icon

23:38 Uhr, 20.10.2010

Antworten

hm ja und wie kommst du auf das? Die Lösung selbst ist mir egal, die hab ich ja

Antwort

Aurel

23:39 Uhr, 20.10.2010

Antworten

also du meinst jetzt für

2 x

würfeln

Antwort

Aurel

23:40 Uhr, 20.10.2010

Antworten

also bei

2 x

Würfeln hab ich abgezählt

neen1

neen1 aktiv_icon

23:40 Uhr, 20.10.2010

Antworten

ja von mir aus für 2 mal

Antwort

Aurel

23:41 Uhr, 20.10.2010

Antworten

wie gesagt, bei

2 x

Würfeln hab ich abgezählt

Antwort

Bobbey

Bobbey aktiv_icon

23:44 Uhr, 20.10.2010

Antworten

die formulierung der 2. aufgabe ist doch für die anzahl würfe

> 2

garnicht eindeutig?!

neen1

neen1 aktiv_icon

23:46 Uhr, 20.10.2010

Antworten

hm, ich hatte folgenden Gedankengang, aber irgendwie komm ich nicht

ganz zu ende:

Wenn ich ein 1 würfle hab ich 5 weitere Möglichkeiten (5/6)

Wenn ich ein 2 würfle hab ich 4 weitere Möglichkeiten (4/6)

Wenn ich ein 3 würfle hab ich 3 weitere Möglichkeiten (3/6)

Wenn ich ein 4 würfle hab ich 2 weitere Möglichkeiten (2/6)

Wenn ich ein 5 würfle hab ich 1 weitere Möglichkeiten (1/6)

Die Möglichkeit eine Zahl von 1 bis 6 zu würfeln ist 1/6

also: 1/6*(5/6+4/6+3/6+2/6+1/6)

aber das kommt mir ziemlich falsch vor ...

Antwort

Aurel

23:47 Uhr, 20.10.2010

Antworten

ich ging davon aus, er meint: Der erste Wurf von

n

Würfen zeigt kleinere Augenzahl , für

n \geq 2

Antwort

Bobbey

Bobbey aktiv_icon

23:52 Uhr, 20.10.2010

Antworten

sorry, mein denkfehler nicht deiner.

Antwort

Aurel

23:53 Uhr, 20.10.2010

Antworten

also ich denke wir reden jetzt nur von 2 Würfen:

Dein Ansatz stimmt eh:

5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

bei 2 Würfen haste

36

Möglichkeiten

also

p = \frac{15}{36}

Antwort

Bobbey

Bobbey aktiv_icon

23:55 Uhr, 20.10.2010

Antworten

naja, er war fast richtig. das hat er gemerkt und war deswegen auch nicht zufrieden.

Antwort

Aurel

23:59 Uhr, 20.10.2010

Antworten

also der allg. Fall:

Der erste Wurf von

n

Würfen zeigt eine kleinere Augenzahl , für

n

≥ 2

ist gar nicht gefragt?

Antwort

Aurel

00:04 Uhr, 21.10.2010

Antworten

@ Bobby

Mir ist nicht klar, was du mit

\frac{15}{6}

meinst,

p

kanns ja nicht sein

(0 \leq p \leq 1)

Antwort

Aurel

00:09 Uhr, 21.10.2010

Antworten

@ Neen

Anzahl der gemäß der Aufgabenstellung günstigen Fälle ermitteln und durch die Anzahl der Fälle dividieren, die gemäß der Aufgabenstellung insgesamt eintreten können.

Anzahl der günstigen Fälle:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Anzahl der insgesamt möglichen Fälle:

36

P = \frac{15}{36}

Antwort

Aurel

00:09 Uhr, 21.10.2010

Antworten

@ Neen

Anzahl der gemäß der Aufgabenstellung günstigen Fälle ermitteln und durch die Anzahl der Fälle dividieren, die gemäß der Aufgabenstellung insgesamt eintreten können.

Anzahl der günstigen Fälle:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Anzahl der insgesamt möglichen Fälle:

36

P = \frac{15}{36}

neen1

neen1 aktiv_icon

00:22 Uhr, 21.10.2010

Antworten

jab verstehe schon Danke!

jetzt rätsle ich nur mehr beim letzen...

zb r=1 dann geht nur mehr 2,3,4,5,6 also 5

nur meine Möglichkeiten insgesamt sind ja 5*6 ...

Antwort

teppich

teppich aktiv_icon

00:29 Uhr, 21.10.2010

Antworten

neen,
deine Überlegung "Wenn ich ein 1 würfle hab ich 5 weitere Möglichkeiten (5/6)..."
ist vollkommen korrekt.

Etwas mathematischer formuliert würde ich hier zwei Zufallsvariablen

X, Y

für die Augenzahl des ersten bzw. zweiten Wurfes einführen. Eine dementsprechend aufgeschriebene Wahrscheinlichkeit lässt sich dann mit den entsprechenden Regeln für Wahrscheinlichkeitsmaße vereinfachen:

(b)

\begin{array}{rcl} P (X < Y) & = & P (X = 1, Y > 1) & + & P (X = 2, Y > 2) & + & \dots & + & P (X = 6, Y > 6) \\ = & P (X = 1) • P (Y > 1) & + & P (X = 2) • P (Y > 2) & + & \dots & + & P (X = 6) • P (Y > 6) \\ = & \frac{1}{6} • \frac{5}{6} & + & \frac{1}{6} • \frac{4}{6} & + & \dots & + & \frac{1}{6} • \frac{0}{6} \\ = & \frac{1}{6} • (\frac{5}{6} + \frac{4}{6} + \dots + \frac{0}{6}) \\ = & \frac{15}{36} \end{array}

(c)

P (X \neq Y, 1 \leq m i n {X, Y} \leq 5)

hierbei ist die Bedingung

1 \leq m i n {X, Y} \leq 5

ganz offensichtlich überflüssig, da die kleinere Zahl bei unterschiedlichen Würfelwürfen immer zwischen

1

und

5

liegen wird. Gesucht ist also (

\bar{E}

soll das Gegenereignis zu E darstellen):

P (X \neq Y) = P (\bar{X = Y}) = 1 - P (X = Y) = 1 - \frac{6}{36} = \frac{5}{6}

Antwort

Aurel

00:30 Uhr, 21.10.2010

Antworten

also bei

r = 5

haste die günstigen Fälle

(5,6)

und

(6,5)

also 2 Fälle

bei

r = 4

haste die günstigen Fälle

(5,6), (4,6)

und

(6,5), (6,4)

also 4 Fälle

bei

r = 3

haste 6 günstige Fälle

bei

r = 2 : 8

bei

r = 1 : 10

also Anzahl der günstigen Fälle ist:

2 \cdot (6 - r)

Anzahl der möglichen Fälle:

36

p = 2 \cdot \frac{6 - r}{36} = \frac{6 - r}{18}

Antwort

Aurel

00:34 Uhr, 21.10.2010

Antworten

@ Teppich

XD, bei

c)

hatte ich ursprünglich auch

P = \frac{5}{6},

aber anscheinend ist die Frage anders gemeint, mit

r

als Variable ;-)

Antwort

teppich

teppich aktiv_icon

00:42 Uhr, 21.10.2010

Antworten

da in der Aufgabenstellung von der "kleineren" und nicht von der "kleinsten" Augenzahl die Rede ist, bin ich mir recht sicher, dass es sich hier, wie auch in (b) lediglich um einen zweifachen Würfelwurf handelt, wenn auch eine höhere Wurfzahl spannender wäre ;-)

Zusätzlich vermute ich die Einführung von Wahrscheinlichkeitsmaßen im Rahmen einer Stochastikvorlesung als Aufgabenkontext. Daher schätze ich eher das Rechnen mit unabhängigen Zufallsvariablen als Ziel der Übung.

Aber der Einwand,

r

als Variable zu betrachten ist gut:

\begin{array}{rcl} P (X \neq Y, m i n {X, Y} = r) & = & P (X = r, Y > r) + P (X > r, Y = r) \\ = & 2 • P (X = r, Y > r) \\ = & 2 • P (X = r) • P (Y > r) \\ = & 2 • \frac{1}{6} • \frac{6 - r}{6} \\ = & \frac{6 - r}{18} \end{array}

Antwort

Aurel

00:59 Uhr, 21.10.2010

Antworten

Teppich,

1)

Ja anscheinend gehts doch nur um 2 Würfe ;-)

2)

Ja, könnte sein, dass ers mit Zufallsvariablen anschreiben soll

ad

c)

er hat übrigens die Lösung von

c)

weiter oben angegeben.

Antwort

Aurel

00:59 Uhr, 21.10.2010

Antworten

Teppich,

1)

Ja anscheinend gehts doch nur um 2 Würfe ;-)

2)

Ja, könnte sein, dass ers mit Zufallsvariablen anschreiben soll

ad

c)

er hat übrigens die Lösung von

c)

weiter oben angegeben.

Antwort

teppich

teppich aktiv_icon

01:06 Uhr, 21.10.2010

Antworten

Hmmm... da war sie wieder die Geschichte mit dem Nichtlesenkönnen, aber so habe ich wenigstens noch ein weiteres Beispiel zum Spielen mit Zufallsvariablen produziert :-)

Frage beantwortet

neen1

neen1 aktiv_icon

21:18 Uhr, 21.10.2010

Antworten

Danke! Damit sind alle Fragen geklärt ^^

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