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Einbettungssatz von Rellich

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Katja001 aktiv_icon

13:07 Uhr, 15.12.2022

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Zeigen sie, dass der Einbettungssatz von Rellich nicht auf

ℝ

, nicht gilt, d.h dass die Einbettung

l : H_{0}^{1} (ℝ) \to L^{2} (ℝ)

nicht kompakt ist.

Mit

\to

ist hier die stetige Einbettung gemeint, aber Latex im Forum kann dieses Pfeilzeichen nicht machen

\ h o o k r i g h t a r r o w

.

Definition stetige Einbettung:

X, Y

seien Banachräume mit

X \subset Y

, dann ist

X

stetig eingebettet in

Y

, wenn

t : X \ h o o k r i g h t a r r o w Y x \mapsto x

stetig ist.

Definition

H_{0}^{1}

: Sei

- \infty \leq a < b \leq \infty

, wir definieren

H_{0}^{1} (a, b) := {\overline{C_{c}^{\infty}}}^{H^{1}}

versehen mit der

H^{1}

Norm, abschluss bzgl

H^{1}

. Dabei ist

H (I)^{1} = {u \in L^{2} : \exists g \in L^{2} (I) : \int_{I} u φ ʹ = - \int_{I} g φ

für alle

φ \in C_{c}^{\infty} (I)}

g

nennt man die schwache Ableitung von

u

und

H^{1} (I)

den Sobolevraum.

So nach den ganzen Definitionen , habe ich leider trotzdem keine Idee wie man diese Aufgabe löst. Kann mir jemand helfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

13:52 Uhr, 15.12.2022

Diese beiden Links könnten dir helfen. Ich bin mir nicht sicher, ob sie dir wirklich helfen, aber Möglichkeit besteht:

math.stackexchange.com/questions/3792453/counter-example-of-rellich-kondrachov-compact-embedding-theorem-on-unbounded-dom

anhngq.wordpress.com/2015/01/07/the-failure-of-compact-rellich-kondrachov-embedding-unbounded-domains-and-critical-exponents

Katja001 aktiv_icon

16:18 Uhr, 15.12.2022

Bedeutet, dass ich soll mir einen Mollifier konstruieren und diesen verschieben ? Wahrscheinlich versteh ich immer noch nicht so wirklich was ich machen soll.

Katja001 aktiv_icon

16:40 Uhr, 15.12.2022

Okay, wenn ich eine solche Funktion habe die ich verschiebe ist sie beschränkt, aber keine Kovergente Folge. Was der kompaktheit widerspricht denke ich.

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