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Eindeutig bestimmte Ebene einer Geradenschar?

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: eben, Ebenengleichung, Geradenschar, Vektorraum

Matheistungesund aktiv_icon

21:41 Uhr, 03.11.2021

Gegeben ist eine Geradenschar ga=(10,3,0)+r*(1,0,c). Es soll gezeigt werden, dass alle Geraden auf einer eindeutig bestimmten Ebene

E

liegen von der Form

E = {x

∈

R 3 |

⟨x, d⟩ = δ

}

. Mein Ansatz war erst

E : x 2 = 3,

aber das erscheint mir zu simpel. Kann mir da wer weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

N8eule

21:51 Uhr, 03.11.2021

Auch erste Ansätze können was für sich haben.
Wie sollte denn für

x_{2}

was anderes als

x_{2} = 3

raus kommen?

Matheistungesund aktiv_icon

21:54 Uhr, 03.11.2021

Okay, schonmal gut zu wissen danke. Aber erfüllt das auch die Bedingung ⟨x, d⟩ = δ für E?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

23:14 Uhr, 03.11.2021

Ansatz:

< (\begin{matrix} 10 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ c \end{matrix}), (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}) >

= (10 + r) \cdot d_{1} + 3 \cdot d_{2} + r \cdot c \cdot d_{3} = r \cdot (d_{1} + c \cdot d_{3}) + 10 \cdot d_{1} + 3 \cdot d_{2}

.

Für

d_{1} = - c \cdot d_{3}

und

δ = 10 \cdot d_{1} + 3 \cdot d_{2}

gilt also

< (\begin{matrix} 10 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ c \end{matrix}), (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}) > = δ \forall r \in R

.

Insbesondere gibt es geeignete

d \in R^{3}

und

δ \in R

für jedes

c \in R

.

Wählt man

d = (\begin{matrix} d_{1} = 0 \\ d_{2} = 1 \\ d_{3} = 0 \end{matrix}), δ = 3,

hat man sogar eine von

c

unabhängige Darstellung,

womit die Eindeutigkeit der Ebene bewiesen ist.

Matheistungesund aktiv_icon

23:50 Uhr, 03.11.2021

Vielen Dank.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:37 Uhr, 04.11.2021

Bitte.

Aber es fehlt noch was - ist mir gerade noch eingefallen:

Also,

E := {x \in R^{3} : < x, (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) > = 3}

ist genau eine Ebene,

wie wir alle wissen, und die Geradenschar ist Teilmenge von

E,

was wir bereits entdeckt haben.

Für den Eindeutigkeitsbeweis brauchen wir jetzt aber noch,

dass die Geradenschar wenigstens zwei verschiedene Geraden enthält

(was zwar erschlagend klar ist, aber bisher noch nicht formal bewiesen).

Wir zeigen noch mehr, nämlich, dass auch

E

Teilmenge der Geradenschar ist.

Denn ist

x \in E,

gilt

x = (\begin{matrix} q_{1} \\ 3 \\ q_{2} \end{matrix})

und es gibt

r, c \in R,

sodass

x = (\begin{matrix} q_{1} = 10 + r \\ 3 \\ q_{2} = r \cdot c \end{matrix}),

nämlich

r = q_{1} - 10

und

c = \frac{q_{2}}{q_{1} - 10},

falls

r \neq 0,

und

c = 0

sonst,

also ist

x

auch Element der Geradenschar.

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