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Eindeutige Lösung auf einem Intervall

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: eindeutige Lösung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Intervall

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20:25 Uhr, 20.03.2019

Hallo, ich hoffe jemand kann mir bei folgender Aufgabe helfen.

Zeigen Sie, dass

y' = t^{2} + e^{- y^{2}}; y (0) = 0

eine eindeutige Lösung
auf dem Intervall

(- a; a)

für alle

a \in R; a > 0

besitzt.

Dazu haben wir folgenden Satz bekommen:
Seien

f

und

f_{y}

stetig auf dem Rechteck

R = {(t, y) : | t - t_{0} | \leq a, | y - y_{0} | \leq b}

und sei

M = max | f (t, y) |, r = min (a, \frac{b}{M}),

dann besitzt das Anfangswertproblem eine eindeutig bestimmte Lösung

y (t)

im Intervall

(t_{0} - r, t_{0} + r)

.

Ich hab jetzt versucht alles einzusetzen, weiß aber nicht wie man

max | f (t, y) |

und

min (a, \frac{b}{M})

berechnet.

R = {(t, y) : | t | \leq a, | y | \leq b}

M = max | t^{2} + e^{- y^{2}} | =

r = min (a, \frac{b}{M}) =

?

Kann mir jemand sagen wie ich

M

und

r

herausbekomme?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

HAL9000

21:46 Uhr, 20.03.2019

Wähle

t_{0} = 0

sowie

y_{0} = 0

und versuche

b

so festzulegen, dass das gemäß deinem Satz gebildete

r

gleich

a

ist!!!

Zu diesem Zweck muss

\frac{b}{M} \geq a

sein. Da offenbar

M = a^{2} + 1

ist, erfüllt die Wahl

b = a (a^{2} + 1)

diesen Zweck.

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21:58 Uhr, 20.03.2019

Hallo, vielen Dank für Deine Antwort.

Wie ich

b

wählen muss und berechne habe ich jetzt verstanden.

Aber warum ist

M = a^{2} + 1

? Dazu vielleicht, was bedeutet das

max

bei einer Funktion? Muss ich da schauen welcher Summand größer ist?

ledum aktiv_icon

22:10 Uhr, 20.03.2019

max | f (t, y) |

ist der maximale Wert in dem Rechteck
Gruß ledum

HAL9000

22:19 Uhr, 20.03.2019

Mitdenken! Für

∣ t ∣ \leq a

ist Anteil

t^{2} \leq a^{2}

. Und für den anderen Anteil gilt offenbar

e^{- y^{2}} \leq e^{0} = 1

, und das sogar für alle reellen

y

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22:19 Uhr, 20.03.2019

Vielen Dank für Deine Antwort.

Da

t \leq a,

verstehe ich das

t^{2} = a^{2}

sein muss. Ich verstehe leider nur nicht warum

e^{- y^{2}}

(mit

y = b) = 1

gilt.

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22:21 Uhr, 20.03.2019

Danke, ich hatte den Anfangswert vergessen.
Jetzt habe ich es verstanden.

HAL9000

22:29 Uhr, 20.03.2019

Mit Anfangswert hat das nichts zu tun.

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22:33 Uhr, 20.03.2019

Oh ok, danke für den Hinweis.

Dann ist

e^{- y^{2}} \leq e^{0},

wegen dem minus bei

y^{2}

? Also

e^{0}

ist der größte Wert den

e^{- y^{2}}

annehmen kann?

HAL9000

22:40 Uhr, 20.03.2019

So ist es.

Mathometer aktiv_icon

22:42 Uhr, 20.03.2019

Super, Vielen Dank!

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