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Eindeutige Lösung des AWP
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Anfangswerteprobleme, AWP, Gewöhnliche Differentialgleichungen
 
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Hallo, ich soll zeigen, dass das folgende AWP eine eindeutige Lösung für alle besitzt: Der Ansatz ist mir denke ich klar. Nach Picard-Lindelöf zeigt man, dass lokal Lipschitzstetig ist. Genauer gesagt zeigt man, dass wegen dem Mittelwertsatz die Ableitung von beschränkt ist. Mir ist dann jedoch nicht klar, wie man die Bedingung weiter berücksichtigt, denn so wie ich den Satz von Picard-Lindelöf verstanden habe, macht dieser nur eine Aussage über ein kleines Intervall um . Hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"macht dieser nur eine Aussage über ein kleines Intervall" Ja, aber Du kannst diese Aussage für ein kleines Intervall um jedes machen. Zusammen ergibt sich eindeutige Lösung für alle . |
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Hallo DrBoogie, das mit dem beliebigen ist mir prinzipiell klar, ich scheitere jedoch an der praktische Umsetzung. Wie zeigt man, dass es für alle gilt? |
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Das ist nicht so ganz einfach zu erklären. Im wesentlichen ist es die Idee der "Lösungsfortsetzung". Versuche den Satz 16.1.14 hier zu verstehen: http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~zenk/ss11/kap16.pdf Dass da über Banachräume geredet wird, kannst Du ignorieren, da ist es nur einfach allgemein formuliert. |
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Ich werde aus den Sätzen einfach nicht schlau. Inwiefern soll mir dieser Satz beim Lösungsweg helfen? |
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Der Satz nicht, aber der Beweis. Da wird erklärt, wie man sogenannte maximale Lösung konstruiert. Das ist es auch, was hier getan werden muss. |
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Also ich habe mir mal den entsprechenden Beweis in unserem Skript angeschaut. Ich meine, dass es etwas mit der Beschränktheit von zu tun hat. Wir haben uns außerdem ein Supremum und Infimum von definiert und gezeigt, dass diese nicht Element von sind. Den entscheidende Zusammenhang habe ich aber noch nicht verstanden. In anderen Aufgaben sehe ich immer wieder, dass eben mit der Beschränktheit argumentiert wird. Kannst Du mir das Vorgehen bzw. das Ziel des Beweises kurz in eigenen Worten zusammenfassen? |
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In diesem Fall ist aber nicht global beschränkt. Die Idee ist wie gesagt, dass man eine lokale Lösung weiter fortsetzt. Genauer kann ich es jetzt nicht erklären, habe keine Zeit. |
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