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Eindeutigkeit Hermite-Interpolationspolynom

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Tags: Numerik

 
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Drumbene91

Drumbene91 aktiv_icon

13:22 Uhr, 03.09.2020

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Hallo zusammen, ich versuche gerade diesen Beweis der Eindeutigkeit des Hermite-Interpolationspolynoms zu verstehen:

"Die Eindeutigkeit dieses Polynoms lässt sich leicht zeigen: Sei q ein weiteres Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2n+1 mit q(xi)=yi und q´ (x_i)=y_i´ für alle i=0,...,n. Dann ist das Polynom p-q vom Grad kleiner oder gleich 2n+1 mit doppelten Nullstelen x0,...,xn. Damit muss dann p=q gelten."


Mir ist ehrlich gesagt schon nicht klar, warum p-q doppelte Nullstellen hat, und die Schlussfolgerung, dass dann Gleichheit gilt, verstehe ich leider auch nicht. Vielleicht sieht es ja jemand von euch :-)

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:50 Uhr, 03.09.2020

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"Mir ist ehrlich gesagt schon nicht klar, warum p−q doppelte Nullstellen hat"

Weil (p-q)(xi)=0 und (p-q)ʹ(xi)=0.

"und die Schlussfolgerung, dass dann Gleichheit gilt, verstehe ich leider auch nicht. Vielleicht sieht es ja jemand von euch "

Weil ein Polynom 0 des Grades m höchstens m Nullstellen (mit Vielfachkeiten gezählt) haben kann. Jetzt hat p-q den Grad höchsten 2n+1 und 2n+2 Nullstellen. Daher kann es nur 0 sein.
Frage beantwortet
Drumbene91

Drumbene91 aktiv_icon

15:24 Uhr, 03.09.2020

Antworten
Super, vielen DAnk! :-)