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Eindeutigkeit Linearer Abbildungen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: basis, Linear Abbildung

 
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loco1990

loco1990 aktiv_icon

11:18 Uhr, 02.11.2016

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Hi,

ich verstehe leider nicht genau was eindeutig bestimmt bei diesem Satz heißt.

Ich weiß, dass g=f sein muss.

Aber wenn ich mir selbst ein Beispiel konstruiere, passt die Lösung nicht zu dem, was ich darunter verstehe.

Zum Beispiel :

Betrachte eine lin. Abbildung F:V→W;V=R3;W=R2

Diese soll definiert sein durch (x,y,z)→(x+y+z;y+z)

Wähle ich nun die Standardbasisvektoren aus R3 ergiben sich folgende Abbildungen dieser: (1,0);(1,1);(1,1)

Wähle ich nun die lin Abbildung G:V→W

mit (x,y,z)→(x+y,y+z) er gibt sich analog
(1,0);(1,1);(1,0).

nun ist f aber nicht gleich g? oder sehe ich das falsch?


Liebe Grüße



Eindeutigkeit
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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loco1990

loco1990 aktiv_icon

11:41 Uhr, 02.11.2016

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Also um meine Frage etwas zu konkretisieren.

Ich bekomme den Vektor (1,1) aus W doch damit durch 2 Lineare Abbildungen.

nämlich f(0,1,0) und g(0,1,0) aber f und g sind ja verschieden.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:08 Uhr, 02.11.2016

Antworten
Hallo,

eindeutig bestimmt heißt hier "durch das n-Tupel (f(v1),⋯,f(vn))
eindeutig bestimmt". Und Deine Bild-Tripel von f und g stimmen im
3-ten Eintrag nicht überein.

Gruß ermanus
loco1990

loco1990 aktiv_icon

12:14 Uhr, 02.11.2016

Antworten
Ok, danke. Und falls mein Bildtripel der zwei Funktionen übereinstimmen würde, dann wäre f eindeutig bestimmt?

Dann müsste mir auch der Beweis klar sein.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:15 Uhr, 02.11.2016

Antworten
Ja, dann wäre f=g.
loco1990

loco1990 aktiv_icon

12:18 Uhr, 02.11.2016

Antworten
Ok.
Eine Sache noch :-) :
Woran erkenne ich dass hier das n-tupel gemeint ist und nicht die einzelenen Vektoren in W ?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:26 Uhr, 02.11.2016

Antworten
Anderenfalls hätte da gestanden durch einige oder durch gewisse
unter den Vektoren f(v1),⋯,f(vn). Also müssen schon alle betrachtet
werden, und dass nicht nur die Menge {f(v1),⋯,f(vn)} gemeint ist,
muss man sich dazu denken; denn gemeint ist ja die Information "Was macht das
f mit den Basisvektoren":
v1→f(v1),⋯,vn→f(vn).
Und wenn man weiß, dass zwei Funktionen "mit den Basisvektoren dasselbe machen",
dann stimmen sie bereits überein.
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