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Eindeutigkeit Supremum

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Miausch

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00:29 Uhr, 29.10.2012

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Ich habe hier den Beweis für die Eindeutigkeit des Supremums - ich kann zwar alle Schritte nachvollziehen, verstehe aber nicht, inwiefern der Beweis die EINDEUTIGKEIT beweist.

Das ist der Beweis:
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Sei A⊂ℝ,A≠{} und nach oben beschränkt

Sei B die Menge der oberen Schranken von A, ie B={b∈ℝ;b ist obere Schranke für A}≠{}

Also gilt: Für alle a∈A,b∈B:a≤b

Mit dem Vollständigkeitsaxiom folgt: Es gibt ein c∈ℝ mit für alle a∈A,b∈B:a≤c≤b

c ist sowohl eine obere Schranke für A wie auch die kleinste (offensichtlich da ja jede andere obere Schranke grösser ist), also ist c das Supremum von A. Damit sei c eindeutig bestimmt.
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Das sieht für mich wie ein Beweis aus, dass aus dem Vollständigkeitsaxiom für beschränkte, nicht-leere Mengen die Existenz eines Supremums gezeigt wird. Inwiefern hier auch gezeigt wird, dass dieses eindeutig ist, ist mir unklar.

Danke
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Sina86

Sina86

10:10 Uhr, 29.10.2012

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Hallo,

also c ist das eindeutige Infimum für B (nach Vollständigkeitsaxiom). Ist nun b:=supA, dann ist b nach Definition eine obere Schranke für A und somit b∈B. Dann gilt a≤c≤b für alle a∈A. Dann sind c und b obere Schranken für A (also insbesondere c∈B), aber nach der Definition vom Supremum folgt, dass b≤c ist. Somit haben wir c≤b≤c, also c=b.

Gruß
Sina
Frage beantwortet
Miausch

Miausch aktiv_icon

22:51 Uhr, 29.10.2012

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Du erklärst wirklich toll, vielen Dank!