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Eine Äquivalenzrelation beweisen

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Äquivalenzrelation, mengen, reflexiv, Relation., symmetrisch, transitiv

half-life aktiv_icon

00:15 Uhr, 11.02.2015

Hallo Leute!

Ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe und komme einfach nicht klar... Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen...

Also: Man nennt eine Menge

A

gleichmächtig zu einer Menge

B

,
symbolisch

A \sim B

, falls es eine Bijektion

f : A \to B

gibt.

Zu zeigen:
a)

\sim

ist eine Äquivalenzrelation
b)

ℕ \sim ℤ

(0, 1) \sim (0, \infty)

d) Keine Menge

M

ist gleichmächtig zu ihrer Potenzmenge

P (M)

Ich stecke schon bei a) fest...

Was ich weiß:
Eine Äquivalenzrelation ist: reflexiv, symmetrisch und transitiv. Also muss ich alle drei beweisen.

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge

M

ist eine Teilmenge

R \subseteq M \times M

, welche folgende Bedingungen erfüllt:

Reflexivität:
Für alle

a \in M

ist

(a, a) \in R

.
Symmetrie:
Für alle

a, b \in M

, für die

(a, b) \in R

gilt, ist auch

(b, a) \in R

.
Transitivität:
Für alle

a, b, c \in M

mit

(a, b) \in R

und

(b, c) \in R

gilt, dass auch

(a, c) \in R

.

So, nun muss ich diese Definitionen irgendwie anwenden. Aber nur wie???? Soll ich nun

A \times A

oder

A \times B

bilden? Und wie kann ich die Bijektion verwenden?

Brauche dringend eure Hilfe!!

Grüße
half-life

EDIT: Reflexivität, Symmetrie und Transivität ist mir vom Prinzip her schon klar. Ich weiß nur nicht wie man so etwas formal beweisen kann!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

07:19 Uhr, 11.02.2015

Du sollst gar nichts bilden.

i) Symmetrie:

A \sim B

\exists

Bijektion

f : A \to B

f^{- 1} : B \to A

und

f^{- 1}

auch eine Bijektktion =>

B \sim A

ii) Reflexivität:

A \sim A

für jedes

A

, weil

I d : A \to A

ist eine Bijektion (

I d (x) = x

)
iii) Transitivität zeige selber (Hinweis:

f, g

- Bijektionen, auch

g \circ f

ist eine Bijektion).

half-life aktiv_icon

19:01 Uhr, 11.02.2015

Hi, danke für die Antwort.

Stimmt das so?

Transitivität: Aus

A \sim B

und

B \sim C

folgt

A \sim C

, weil es zwei Bijektionen

f : A \to B

und

g : B \to C

gibt, die verknüpft eine dritte Bijektion

g \circ f : A \to C

ergeben.

g \circ f

ist bijektiv, weil die Bildmenge von f und die Definitionsmenge von g übereinstimmen.

Kannst du mir vielleicht noch erklären warum das mit dem kartesischen Produkt nicht stimmt?

Grüße
half-life

DrBoogie aktiv_icon

21:34 Uhr, 11.02.2015

"ist bijektiv, weil die Bildmenge von f und die Definitionsmenge von g übereinstimmen."

Nein, dies reicht überhaupt nicht zur Begründung. Aber ich glaube nicht, dass Du beweisen musst, dass

g \circ f

eine Bijektion ist. Es ist höchstwahrscheinlich als bekannt vorausgesetzt.

"Kannst du mir vielleicht noch erklären warum das mit dem kartesischen Produkt nicht stimmt?"

Was genau stimmt nicht?

ledum aktiv_icon

22:46 Uhr, 11.02.2015

Hallo
Es hat einfach nichts mit kartesischem Produkt, also Paarmengen zu tun.

z . B

du hast die Menge A der geraden natürlichen Zahlen

B

die Menge der ungeraden.

f A \to B f (g) = g + 1 g \in A f^{- 1}

von

B \to A f^{- 1} (u) = u - 1 u \in B

das hat nichts mit Paaren

(g, g)

oder

(u, u)

zu tun
Gruß ledum

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