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Eine Aussage über Binomialkoeffizienten zeigen

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

cristallin aktiv_icon

12:15 Uhr, 06.04.2012

Hallo zusammen,

Wer kann mir hier helfen? Ich weiß nicht ganz genau wie ich anfangen soll.

Sei p eine Primzahl. Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage über Binomialkoeffizienten:

p teilt

(\begin{array}{rcl} p \\ k \end{array})

für alle

k \in ℕ

mit

1 \leq k \leq p - 1

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

hagman aktiv_icon

13:47 Uhr, 06.04.2012

Ist bekannt, dass

(\begin{matrix} p \\ k \end{matrix}) = \frac{p!}{k! (p - k)!}

gilt?

heitho aktiv_icon

13:48 Uhr, 06.04.2012

Wenn du dir mal anschaust, wie man den Binomialkoeffizienten ausrechnet, und dir dann überlegst, ob man da immer ein p ausklammern kann, könnte dich das schon zum Ziel führen. Wobei der Rest hier natürlich ganzzahlig bleiben müsste...

cristallin aktiv_icon

14:13 Uhr, 06.04.2012

Hallo Hagman,
Zu deiner Frage. Es steht nicht in der Aufgabenstellung, dass deine Formel gilt.

So wollte ich erstmal berechnen. Denn es gibt zwei Formel der Binomialkoeffizienten.

Hier die komplette Aufgabenstellung:

Eine ganze Zahl a ungleich 0 teilt eine ganze Zahl b, falls es eine ganze Zahl k gibt, so dass b=ak, man sagt dann auch a ist Teiler von b. Eine positive natürliche Zahl p heißt Primzahl, wenn sie genau zwei verschiedene positive Teiler besitzt(diese sind also 1 und p).
Sei p eine Primzahl. Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage über Binomialkoeffizienten:
p teilt

(\begin{array}{rcl} p \\ k \end{array})

für alle

k \in ℕ

mit

1 \leq k \leq p - 1

hagman aktiv_icon

15:02 Uhr, 06.04.2012

Natürlich steht die Formel ncht in der Aufgabenstellung, ist aber allgemein bekannt - meine Frage war daher, ob ihr von eurem Kursinhalt her diese Formel schon "kennt", also verwenden dürft.
Ein Teil der Literatur *definiert* Binomialkoeffizienten ja sogar so, ein anderer über das Pascalsche Dreieck, wieder ein anderer kombinatorisch (Anzahl der Möglichkeiten,

k

aus

n

zu wählen), während die eigentlich nächstliegende, nämlich *etymologische* Definition (basierend auf *Binom* und *Koeffizient*) lautet, dass

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

der Koeffizient von

x^{k}

im Polynom

{(1 + x)}^{n}

ist.
Jetzt kommt bei der vollständigen Aufgabenstellung erschwerend hinzu, dass der Begriff *Primzahl* hier offenbar erstmalig eingeführt wird, so dass bisher keine weiteren Eigenschaften von Primzahlen als bekannt vorausgesetzt werden dürfen - das macht die Sache etwas schwieriger.
Daher sicherheitshalber nochmals die Nachfrage: Wie habt ihr *Binomialkoeffizient* genau definiert?

cristallin aktiv_icon

15:57 Uhr, 06.04.2012

Wir haben zwei Definitionen des Binomialkoeffizient gelernt.

-Erste Definition

(\begin{array}{rcl} n \\ k \end{array})

\frac{n!}{k! (n - k)!}

-Zweite Definition

(\begin{array}{rcl} n \\ k \end{array})

\frac{\prod_{i = 0}^{k - 1} (n - i)}{k!}

hagman aktiv_icon

00:17 Uhr, 07.04.2012

Nun gut, angesichts eurer ersten Definition hättest du meine allererste Frage ja durchaus einfach mit "ja" beantworten können statt "Es steht nicht in der Aufgabenstellung, dass deine Formel gilt".

Jetzt braucht man eine wichtige Eigenschaft von Primzahlen (für einige ist diese sogar anstelle der Zwei-Teiler-Eigenschaft die definierende Eigenschaft):

Wenn

p

prim ist und

a, b

ganze Zahlen und

p

Teiler von

a b

ist, dann ist

p

Teiler von

a

oder

p

ist Teiler von

b

.
Normalerweise würde diese kurz nach Einführung des Primzahlbegriffs gezeigt. Ist dies bei euch wirklich nicht der Fall gewesen?

Sobald man diese Eigenschaft gezeigt hat, ist jedenfalls alles einfach:
Da für

k < p

jeder Faktor

1 \leq i \leq k

in der definierenden Produktdarstellung von

k! = \prod_{i = 1}^{k} i

gewiss kein Vielfaches von

p

ist (jedes Vielfache von

p

ist entweder

\leq 0

oder

\geq p,

warum?), ist nach obiger Bemerkung auch

k!

kein Vielfaches von

p

.
Wegen

p - k < p

gilt ebenso, dass

p

kein Teiler von

(n - k)!

ist.
Trivialerweise ist

p

Teiler von

p!,

folglich nach obiger Bemerkung auch Teiler eines der Faktoren auf der rechten Seite von

p! = (\begin{matrix} p \\ k \end{matrix}) \cdot k! \cdot (p - k)!

Es bleibt nur übrig, dass

(\begin{matrix} p \\ k \end{matrix})

Vielfaches von

p

ist.

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