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Eine Basis aus R^2 in R^4 ergänzen
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Vektorräume
Tags: basis, Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum
 
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Hey, ich habe beim Lernen eine Aufgabe im Internet gefunden und bin gerade total verwirrt bezüglich meines Wissens einer Basis und Vektoren. Ich weiß, dass eine Basis die minimale Anzahl an Vektoren angibt, die einen Raum aufspannen. Also können fünf Vektoren nicht eine Basis für R^4 bilden, da die Dimension von R^4 4 beträgt und eines dieser 5 Vektoren eine linearkombination aus den anderen 4 sein muss. Um eine Basis für R^4 zu bilden, benötigt man genau 4 linear unabhängige Vektoren (mit Einträgen x1,x2,x3,x4). Soweit so gut. In der Aufgabe nun habe ich die Basis von U bestimmt - allerdings sind es drei Vektoren mit jeweils zwei „Zeilen“. Eins davon müsste linearkombination der anderen beiden sein, denn ein vektor aus zwei „Zeilen“ spannt eine Ebene auf und der dritte Vektor ist überflüssig. Allerdings habe ich das überprüft und wenn ich nicht falsch liege sind alle drei voneinander linear unabhängig. Kann ich in so einem Fall einen der Vektoren einfach rauslassen, da es trotzdem auf der Ebene liegt? Das klingt für mich nicht plausibel genug und ich wäre mit der Antwort nicht ganz zufrieden, zumindest nicht mit diesem Gedankengang. Daraus folgert sich dann auch mein zweites Problem, wenn ich die Basis zu einer Basis des R^4 ergänzen soll. Es sind nämlich 5 Vektoren, die den R^4 aufspannen… es kann doch nicht sein, dass ich das als Basis angebe, oder?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, wenn die Lösung in Zusammenarbeit geschehen soll, dann lass dir erst einmal deine folgenden Aussagen durch den Kopf gehen: "Dim (U) = 2 [glaube ich einfach mal] und "der dritte Vektor ist überflüssig" versus "und wenn ich nicht falsch liege sind alle drei voneinander linear unabhängig." Und noch eine Sache vorwerg: Du befindest dich zu keinem Zeitpunkt in R^2, sondern in einem Unterraum vom R^4. LG EL |
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Das hilft mir leider nicht auf die Sprünge… Tatsächlich habe ich auch versehentlich die Zusammenarbeit ausgewählt, lieber wäre mir eine Erklärung auf die ich Rückfragen stellen kann:-) |
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Das hilft mir leider nicht auf die Sprünge… Tatsächlich habe ich auch versehentlich die Zusammenarbeit ausgewählt, lieber wäre mir eine Erklärung auf die ich Rückfragen stellen kann:-) |
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Hallo die 3 Vektoren sind ja nicht wirklich linear abhängig, deshalb kannst du einfach alle 3 als Basis des UVR nehmen. (wenn sie ln abhängig wären musst du doch einen als Linearkombination des anderen nehmen? wenn sie unabhängig sind (Überprüf das!) dann kannst di sie als Basis nehmen und einen weiteren lin. unabhängigen suchen um zur Basis des R^4 zu kommen- Gruß ledum |
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Hallo, dim (U) = 2 stimmt, zudem gilt -a + 2b = c, die Vektoren sind also linear abhängig. Deshalb ist z.B. (a, b) eine Basis von von U. Wenn du aus deinem B' den dritten Vektor entfernst, hast du zu einer Basis von R^4 ergänzt. Noch einfacher wären Vektor a, Vektor b sowie der dritte und vierte Einheitsvektor des R^4. Liebe Grüße EL |
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@Miauda Deine Rechnungen beziehen sich leider nicht auf den von den drei gegebenen Vektoren aufgespannten Unterraum des , sondern auf den von vier anderen Vektoren aufgespannten Unterraum des . Kurzum: Transponiere die Ausgangsmatrix und rechne nochmal mit jenem . (Alternativ kannst du auch bei deiner Matrix bleiben, musst aber von Zeilen- auf Spaltenoperationen umstellen!!!) Das ändert zwar nichts an der Dimension 2 des Unterraums, wohl aber an der Angabe einer Basis für sowie dem Auffinden der zwei ergänzenden Basisvektoren für den gesamten . EDIT: Ok, die ganze Rechnung. Die übliche Reduktion auf Zeilenstufenform liefert . Das ergibt zum einen dim(U)=2, und zum anderen wäre etwa Ergänzung naheliegend: Die ersten zwei Zeilen enthalten passende Basisvektoren für , zusammen mit den Zeilen 3 und 4 dann eine Basis für . Es hat schließlich keiner davon gesprochen, dass die Basis von aus zwei der drei Ausgangsvektoren gebildet werden MUSS. Der letztgenannten Matrix an (Zeilen-)Basisvektoren sieht man unmittelbar an, dass sie regulär ist: Dreiecksgestalt + keine Nullen auf der Diagonale. |
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Tipp: e60lukas hat erkannt, dass c = -a + 2b ist. Also ist c eine Linearkombination der beiden anderen. Dass a und b linear unabh. sind, ist klar, weil a nicht Vielfaches von b ist. Du behältst dann a und b als Basiselemente bei. C ist lin. abhängig. Aber wenn du nur eine Komponente von c abänderst, die anderen aber beibehältst, ist es ÄUßERST UNWAHRSCHEINLICH, dass nun c immer noch eine Linearkombination von a und b ist. Du nimmst das veränderte c zur Basis hinzu. Dann wiederholst du das noch mal mit einer anderen Komponente von c und erhältst so einen 4. Kandidaten für die gesuchte Basis. Dann prüfst du alle 4 auf lineare Unabhängigkeit. In fast allen Fällen hast du dabei Erfolg. Hier ändere ich von c = einmal die erste Komponente von 3 auf 4 und beim letzten Vektor die zweite von 8 auf 9: bilden eine Basis des |
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Vielen Dank für die ganzen Antworten!! @HAL9000 Ich verstehe nicht ganz, wie du auf die Idee gekommen bist, die transponierte Matrix zu nehmen und damit zu rechnen. Also kurz gesagt ist mir nicht klar, woraus man folgendes schlussfolgern kann: Deine Rechnungen beziehen sich leider nicht auf den von den drei gegebenen Vektoren aufgespannten Unterraum u des R^4 sondern auf den von vier anderen Vektoren aufgespannten Unterraum des R^3“. Wenn ich das gerafft habe, sind mir die anderen Schritte nun auch klar, danke dafür! |
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> Ich verstehe nicht ganz, wie du auf die Idee gekommen bist, die transponierte Matrix zu nehmen und damit zu rechnen. Ich bin nicht auf die Idee gekommen, sondern ich habe so gerechnet, wie es sich bei einem solchen Problem gehört: Durch diese Rechnungen bis hin zu Zeilenstufenform sind in JEDEM Tableau die Zeilen Vektoren, die den Unterraum aufspannen. Die Zeilenstufenform besteht dann letztlich aus linear unabhängigen Vektoren, die man als Basisvektoren von nehmen kann - d.h., nachdem man die überflüssigen Nullzeilen rausgeschmissen hat. Umgekehrt gefragt: Wo hast du denn deine obige falsche Rechenweise gelernt? |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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