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Eine "Minimums"-Metrik

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie, Metrik

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09:00 Uhr, 21.02.2019

Hallo Leute,

ich bin mir bei meinem Lösungsansatz zu einer Aufgabe bezüglich einer Metrik unsicher, und würde gerne wissen, ob er Blödsinn ist, oder ob ich es so machen kann.

Folgende Metrik ist gegeben:

dc:

X \cdot X \to R;

dc(x,y)

= min {d (x, y), c}

X -

Menge,

R -

reelle Zahlen,

c > 0, d -

euklidischer Abstand,

(X, d) -

metrischer Raum

In der ersten Teilaufgabe musste ich zeigen, dass (X,dc) ein metrischer Raum ist. Das ist ja nur die Definition abarbeiten und war auch kein Problem. In der zweiten Teilaufgabe soll jedoch folgende Aussage bewiesen werden:

"Eine echte Teilmenge

U

von

X

ist offen bezüglich

d

genau dann, wenn

U

offen ist bezüglich dc."

Um zu zeigen, dass

U

offen ist, muss ich ja gucken, ob

U

für jede ihrer Punkte

u

eine Umgebung ist,

d . h

. dass ich für jeden Punkt

u \in U

ein Epsilon finden kann, sodass Punkte mit einem Abstand zu

u

kleiner als Epsilon in

U

liegen, aber nicht außerhalb von U. Erste Frage: Habe ich das so richtig verstanden oder scheitert es bereits hier?

Ich habe erstmal versucht, mir die Metrik dc bezüglich verschiedener Teilmengen klar zu machen und dazu das Pferd von hinten aufgezäumt: Ist der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten größer oder gleich

c,

dann sagt die Metrik, dass nicht mehr der euklidische Abstand gilt, sondern der Abstand immer

c

ist. Ist er kleiner als

c,

darf man weiterhin den euklidischen Abstand nehmen. Wenn ich Epsilon größer wähle als

c,

dann liegen in der Epsilon-Umgebung von jedem

u

ja alle Punkte aus

X,

U = X,

oder? Wenn ich jetzt Epsilon maximal so groß wie

c

wähle, dann liegen alle Punkte in

U,

deren Abstand von jedem beliebigen

u

kleiner ist als

c, d . h

. ich habe eine echte Teilmenge, oder? In der Epsilonumgebung von jedem

u

gilt ja dann aber der euklidische Abstand, dh. wenn so eine Teilmenge dc-offen ist, ist sie auch d-offen, oder? Das wäre meine Überlegung zur Rück-Richtung des Äquivalenzbeweises. Sicher bin ich mir da aber nicht...
Bei der Hin-Richtung bin ich auch unschlüssig: Ich weiß, dass ich eine Teilmenge von

X

habe, die d-offen ist. Ich hatte gedacht, ich könnte mir jetzt ein

c

vorgeben und Epsilon gleich

c

wählen...

Sorry, dass ich so viel schreibe, aber ich weiß nicht, wie ich meine Überlegungen kürzer fassen kann; wir haben gerade erst mit offen/abgeschlossenen Teilmengen angefangen und ich komme bei den Definitionen noch leicht ins Schleudern und muss mir alles selbst immer wieder mit der Kindergarten-Erklärung klar machen.

Danke schon mal für eure Hilfe bzw. fürs Lesen! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

11:57 Uhr, 21.02.2019

Hallo,
du musst dich nicht mit deinen durchaus richtigen Vorstellungen von
der Sache verstecken.
Im letzten Teil schreibst du:
"Bei der Hin-Richtung bin ich auch unschlüssig: Ich weiß, dass ich eine
Teilmenge von X habe, die d-offen ist.
Ich hatte gedacht,
ich könnte mir jetzt ein c vorgeben und Epsilon gleich c wählen..."
Das kannst du so leider nicht machen; denn wenn du erst einmal
das

d_{c}

hast, kannst du es nicht zwischendurch plötzlich ändern.

c > 0

ist zwar beliebig, aber für den ganzen Beweis fest.
Du musst dir aber dennoch keine Sorgen machen ;-)
Denn wenn du einen Punkt

x

in ener bzgl.

d

offenen Menge

U

betrachtest.
Dann weißt du zunächst, dass es ein

ε > 0

gibt, so dass
für die

ε

-Umgebung

U_{d} (x, ε) \subseteq U

gilt.
Für jedes

ε ʹ

mit

0 < ε ʹ < ε

gilt dann erst recht

U_{d} (x, ε ʹ) \subseteq U_{d} (x, ε) \subseteq U

,
d.h. du kannst o.B.d.A. annehmen, dass für alle Epsilons in deiner
Betrachtung gilt

ε < c

.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

12:57 Uhr, 21.02.2019

Du kannst es auch so formulieren:
für

0 < ε < c

gilt

U_{d_{c}} (x, ε) = U_{d} (x, ε)

godzilla12 aktiv_icon

14:28 Uhr, 21.02.2019

Ich wiederhole mich. Ich bin Anhänger der Nonstandard Analysis ( NSA ) von Edward Nelson; Lehrbuch von Alain Robert bei Wiley.
Standardgrößen werden groß geschrieben; inf Größen griechisch.
Für metrischen Raum

X

Standard folgt durch

\to

Transfer

c = C =

Standard .

\to

Implizite Definition des Begriffs " offene Menge " :

Eine Menge

U

heißt offen

\Leftrightarrow

x^{⋆}

€

O \to x

€

O (1)

Die Äquivalenz folgt trivial, weil ja immer

d (x; x^{⋆}) = :

€

< C (2)

ermanus aktiv_icon

14:50 Uhr, 21.02.2019

Und wie soll das der Studentin konkret jetzt nützen ?

Fliege aktiv_icon

15:52 Uhr, 21.02.2019

@ ermanus: Vielen Dank, hat mir wirklich geholfen :-).

@ godzilla12: Ich glaube, ich muss erst mal die Grundlagen der "Standard"-Analysis begreifen... solange bleibt NSA für mich wohl ein US-Geheimdienst ;-).

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