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Eine Ungleichung beweisen

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Tags: Funktion, Ungleichung

chamjak aktiv_icon

14:26 Uhr, 12.02.2013

Hallo ich übe gerade für eine Klausur und will folgende Aufgabe lösen...

Beweisen Sie für

a, b

element reeler Zahlen die Ungleichung

ab

\leq \frac{1}{2} (

a²

+

b²).

Wann gilt Gleichheit?

Also ich wollte mit einer Fallunterscheidung beginnen

1. Fall

a > 0

und

b > 0

oder

a > 0 b = 0

oder

a = 0 b > 0

\leq \frac{1}{2}

(a²+b²)

| \cdot 2

2ab

\leq

a²+b² | -2ab

0 \leq

a²-2ab+b²

0 \leq

(a-b)²
das stimmt ja per Axiomen ist das dann schon bewiesen?

2. Fall

a < 0

und

b < 0

(- a \cdot - b) =

\frac{1}{2}

((-a)²

+

(-b)²)

= \frac{1}{2}

(a²+b²)
also genau wie im 1. Fall

3. Fall

a = 0

und

b = 0

0 \cdot 0 \leq \frac{1}{2}

(0²

+

0²)

0 \leq 0

ich weiß nich ob das so korrekt is wäre für jeden Tip dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

14:40 Uhr, 12.02.2013

Hallo,

eine Fallunterscheidung ist unnötig.
Am einfachsten multiplizierst du die Ungleichung mit 2 und denkst ganz doll an eine binomische Formel!

Mfg Michael

EDIT: @chamjak: Ich habe nicht gesehen, dass du die Rechnung, die ich meinte, im ersten Fall schon abgearbeitet hast. DIese Rechnung ist doch aber offenbar auch ohne Fallunterscheidung möglich, gell?
Dann bist du bei dem, was ich mit diesem posting ursprünglich mitteilen wollte.

Mfg Michael

Bummerang

14:41 Uhr, 12.02.2013

Hallo,

geht viel einfacher:

{(a - b)}^{2} \geq 0;

weil alle Quadrate nichtnegativ sind!

a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2} \geq 0

a^{2} + b^{2} \geq 2 \cdot a \cdot b

\frac{1}{2} \cdot (a^{2} + b^{2}) \geq a \cdot b

michaL aktiv_icon

14:55 Uhr, 12.02.2013

Hallo,

also "viel" finde ich, ist das nicht! Es ist doch nur der "Rückweg"?!

Mfg Michael

Bummerang

15:01 Uhr, 12.02.2013

Hallo michaL,

ist nicht ganz klar, was Du meinst, liegt vielleicht auch daran, dass Du mit Deiner Antwort, sagen wir mal, gleichzeitig zu meiner Antwort begonnen hast und ich mit den Formeln ein wenig länger gebraucht habe. Ich habe also nicht auf Deinen Post geantwortet, denn den kannte ich zu diesem Zeitpunkt nicht und wenn man den Fragepost mit meiner Antwort vergleicht, dann ist das viel weniger!

PS: Man MUSS diesen Rückweg gehen, denn bei einem direkten Beweis geht man von etwas wahrem oder bereits beweisenen aus und schließt auf die Behauptung! Macht man es wie Du, muss man Zeile für Zeile wenigstens die Äquivalenz erwähnen. Nimmt man gleich den Rückweg, reicht die Implikation!

chamjak aktiv_icon

16:27 Uhr, 12.02.2013

dankeschön :-) habt mir geholfen nur versteh ich nich warum ich das ganze jetzt nochmal rückwärts machen muss, aber dass ich keine Fälle brauche, leuchtet mir ein. Dankeschön :-)

Bummerang

07:22 Uhr, 13.02.2013

Hallo,

"nur versteh ich nich warum ich das ganze jetzt nochmal rückwärts machen muss"

Wozu, glaubst Du, hatte ich in meinem Post das "PS" angehängt, wenn Du es dann doch nicht liest?

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