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Eine Vereinigung von Mannigfaltigkeiten

Universität / Fachhochschule

Tags: disjunkt, Familie, Mannigfaltigkeit

Matt11 aktiv_icon

00:09 Uhr, 08.11.2015

Ich habe folgende Übungsaufgabe:

"Man zeige: Ist

M_{i}, i \in I

, eine Familie von d-dimensionalen Mannigfaltigkeiten im

ℝ^{p}

, sodass für jedes

j \in I, M_{j} \cap \overline{⋃_{i \neq j} M_{i}} = \emptyset

, so ist

⋃_{i \in I} M_{i}

eine Mannigfaltigkeit.

Schließlich gebe man ein Beispiel an, das zeigt, dass obige Voraussetzung notwendig ist; d.h. finden Sie zwei 1-dimensionale Mannigfaltigkeiten

M_{1}, M_{2}

ℝ^{2}

, die zwar disjunkt sind, aber nicht

\overline{M_{1}} \cap M_{2} = \emptyset

erfüllen, und sodass

M_{1} \cup M_{2}

keine Mannigfaltigkeit ist."

So haben wir Mannigfaltigkeiten definiert:

Für

M \subseteq ℝ^{p}

p \geq 1

, heißt eine Abbildung

Φ : D \to M m i t D \subseteq ℝ^{d}, 0 < d \geq p

eine d-dimensionale Einbettung in M, wenn

\emptyset \neq D

offene Teilmenge von

ℝ^{d}

ist,

Φ (D)

offene Teilmenge von M bzgl. der Spurtopologie ist, dh.

Φ (D) = M \cap U

für eine in

ℝ^{p}

bezüglich der Euklidischen Topologie offene Teilmenge U, und

Φ : D \to Φ (D)

ein Homöomorphismus ist

Φ

als Abbildung von D nach

ℝ^{p}

stetig differenzierbar ist

d Φ (s)

für alle

s \in D

injektiv ist, d.h.

d Φ (s)

maximalen Rang d hat

Da

M_{i}, i \in I

Mannigfaltigkeiten sind, ist

⋃_{i \in I} M_{i}

stetig differenzierbar und injektiv. Wie kann man den ersten Punkt zeigen? Oder gibt es überhaupt eine schnellere Möglichkeit?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:23 Uhr, 08.11.2015

"Da

M_{i}, i \in I

Mannigfaltigkeiten sind, ist

⋃_{i \in I} M_{i}

stetig differenzierbar und injektiv."

Das ist eine Menge, wie soll sie bitte schöne injektiv sein? :-O

Zu der Aufgabe: die Bedingung garantiert, dass für jedes Punkt

x

der Mannigfaltigkeit

M_{i}

eine Umgebung

O (x)

existiert, die andere

M_{j}

's nicht schneidet. Damit ist auch

⋃_{i \in I} M_{i}

eine Mannigfaltigkeit, wenn man sie über die Vereinigung aller Karten für alle

M_{i}

's definiert, denn für jeden Punkt

x

aus

⋃_{i \in I} M_{i}

existiert eine Umgebung, die nur in einem

M_{i}

liegt.

Matt11 aktiv_icon

12:09 Uhr, 08.11.2015

Danke!

Aber warum folgen die Bedingungen für eine Mannigfaltigkeit daraus, dass für jeden Punkt x aus

⋃_{i \in I} M_{i}

eine Umgebung, die nur in einem

M_{i}

liegt, existiert?

DrBoogie aktiv_icon

12:39 Uhr, 08.11.2015

Es ist zwar eigentlich offensichtlich, aber schwer zu erklären.
Grob gesagt, da Du eine Umgebung von

x

hast, die andere

M_{j}

's nicht schneidet, kannst Du andere

M_{j}

's einfach vergessen, sie spielen keine Rolle. Alles spielt sich (lokal) nur in

M_{i}

, wo

x

liegt, daher sind alle Bedingung erfüllt, denn

M_{i}

ist ja eine Mannigfaltigkeit.

Matt11 aktiv_icon

16:12 Uhr, 08.11.2015

Danke!

Schön aufgeschrieben wäre das Beispiel dann also:

1) Daraus, dass für jedes

j \in I

M_{j} \cap \overline{⋃_{i \neq j} M_{i}} = \emptyset

ist, folgt, dass für jeden Punkt

x \in M_{i}

eine Umgebung O(x) existiert, die die anderen

M_{j}

s nicht schneidet, also existiert für jeden Punkt x aus

⋃_{i \in I} M_{i}

eine Umgebung, die nur in einem

M_{i}

liegt.

M_{i}

ist eine Mannigfaltigkeit, also gelten auf der Umgebung um x alle Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit. Da dies für alle

x \in ⋃_{i \in I} M_{i}

gilt, ist

⋃_{i \in I} M_{i}

eine Mannigfaltigkeit.

2) Was für ein Gegenbeispiel kann ich hier nehmen?

DrBoogie aktiv_icon

16:43 Uhr, 08.11.2015

M_{1} = {(x, 0) : 0 < ∣ x ∣ < 1}

und

M_{2} = {(0, y) : 0 < ∣ y ∣ < 1}

Matt11 aktiv_icon

16:54 Uhr, 08.11.2015

Danke!

Dass die beiden disjunkt sind, ist klar. Aber wäre

\overline{M_{1}}

nicht [x, 0] und

[x, 0] \cap (0, y) = \emptyset ?

DrBoogie aktiv_icon

17:01 Uhr, 08.11.2015

Sorry, ich habe es nicht ganz durchdacht.

M_{1}

wie oben (es ist die Vereinigung der Intervalle

(- 1, 0) \cup (0, 1)

auf der

x

-Achse, also hast Du trotzdem Unrecht mit

\overline{M_{1}}

) und

M_{2} = {(0, y) : - 1 < y < 1}

.
Damit

M_{1} \cap M_{2} = \emptyset

und

\overline{M_{1}} \cap M_{2} = {(0, 0)}

M_{1} \cup M_{2}

ist ein Kreuz, daher ist klar, dass es keine eindimensionale Mannigfaltigkeit ist.

DrBoogie aktiv_icon

17:04 Uhr, 08.11.2015

Damit es klarer wird, ein Bild.

M_{1}

ist grün,

M_{2}

ist rot.

Matt11 aktiv_icon

17:47 Uhr, 08.11.2015

Danke!

Man muss aber glaube ich generell zeigen, dass

M_{1} \cup M_{2}

keine Mannigfaltigkeit ist.

DrBoogie aktiv_icon

19:37 Uhr, 08.11.2015

Da steht doch "gebe ein Beispiel".

Generell kann

M_{1} \cup M_{2}

sehr wohl eine Mannigfaltigkeit sein, auch wenn

M_{1} \cap M_{2} = \emptyset

und

\overline{M_{1}} \cap M_{2} \neq \emptyset

Matt11 aktiv_icon

22:40 Uhr, 15.11.2015

Danke, jetzt verstehe ich es :-)

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