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Einen geschlossenen Ausdruck finden?

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Tags: Folgen und Reihen, Funktionenfolgen, Funktionenreihen

DTH92 aktiv_icon

14:37 Uhr, 30.05.2016

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Ich soll für

| x | < 1

einen geschlossenen Ausdruck für

\sum_{j = 1}^{\infty} j x^{j}

angeben.
Leider habe ich keine Ahnung, was ein geschlossener Ausdruck ist, es wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte.
Lieben Dank:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:45 Uhr, 30.05.2016

Gemeint ist eine Formel ohne Summenzeichen.
Z.B. für

\sum_{i = 0}^{\infty} x^{j}

ist diese Formel

\frac{1}{1 - x}

.
Deine Formel bekommt man einfach, indem man

\sum_{i = 0}^{\infty} x^{j} = \frac{1}{1 - x}

ableitet.

DTH92 aktiv_icon

14:50 Uhr, 30.05.2016

Hey danke für die Antwort...aber warum liefert

\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - x}

die Lösung?
Verstehe ich nicht

: (

DrBoogie aktiv_icon

14:51 Uhr, 30.05.2016

Leite die Reihe ab, wirst sehen.
Natürlich wenn Du weißt, wie man Reihen ableitet.
Sonst musst Du einen anderen Beweisweg suchen. Über Cauchy-Produkt würde es auch gehen.

DTH92 aktiv_icon

15:11 Uhr, 30.05.2016

Was ich nicht verstehe: Warum kommt hier überhaupt die Ableitung ins Spiel, da steht ja nichts in der Aufgabe von. Welcher Satz besagt dies? Hab auch schon unter dem Stichwort Potenzreihen nachgeguckt, aber finde irgendwie nichts gescheites.

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15:17 Uhr, 30.05.2016

"Welcher Satz besagt dies?"

Du brauchst keinen Satz, Du brauchst nur Augen. :-)

\sum_{j = 0}^{\infty} j x^{j} = x \sum_{j = 0}^{\infty} j x^{j - 1} = x (\sum_{j = 0}^{\infty} x^{j})^{ʹ}

.
Und man kann das ausnutzen, dass

\sum_{j = 0}^{\infty} x^{j}

leicht direkt berechenbar ist.

DTH92 aktiv_icon

15:35 Uhr, 30.05.2016

Ah okay, also du hast das geschickt umgeformt, dass die Summe in die Form einer Ableitung kommt, ich verstehe. Die Lösung müsste dann

\frac{x}{{(x - 1)}^{2}}

sein, korrekt?

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15:45 Uhr, 30.05.2016

Jawohl.

DTH92 aktiv_icon

19:43 Uhr, 30.05.2016

Okay cool,

ich habe noch eine Aufgabe gleichen Typs:

\sum_{j = 1}^{\infty} (j - 1) x^{2 j}

. Das soll jetzt sicher wieder über die geommetrische Reihe gelöst werden, aber ich habe keine Ahnung wie

: (

Also Indexshift liefert

\sum_{j = 0}^{\infty} j x^{2 j + 2} = x^{2} \sum_{j = 0}^{\infty} j x^{2 j} = x^{2} \sum_{j = 0}^{\infty} j {(x^{j})}^{2}

,womit man ja wieder fast an der Summe von oben (Ausgangspost) dran wär, aber auch nur fast.
Wie bastel ich mir die "hoch 2" da beim

x^{j}

am besten weg? Ich weiß, das sind Grundlagenaufgaben, aber mir fehlt da einfach die Übung..

LG

DrBoogie aktiv_icon

19:45 Uhr, 30.05.2016

"aber auch nur fast"

Nein, genau, nicht fast. Einfach ersetze

x^{2}

mit

y

DTH92 aktiv_icon

20:07 Uhr, 30.05.2016

Tausend Dank

!!

DTH92 aktiv_icon

21:59 Uhr, 30.05.2016

Hey, ich habe noch eine letzte Aufgabe dieser Art:

\sum_{j = 1}^{\infty} {(- 1)}^{j - 1} (j - 1) x^{2 j}

Diese ähnelt ja sehr der Summe

\sum_{j = 1}^{\infty} (j - 1) x^{2 j},

welche ich mit deiner Hilfe oben schon berechnet habe.
Wie wäre die Herangehensweise hier? Ich würde ja einfach den Term von

\sum_{j = 1}^{\infty} (j - 1) x^{2 j} = \frac{x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}

mit

{(- 1)}^{j - 1}

multiplizieren, aber leider gehört das

j

ja zur Summe. Und der

lim_{j \to \infty} {(- 1)}^{j - 1}

existiert nicht...

DrBoogie aktiv_icon

07:43 Uhr, 31.05.2016

Wieder

j - 1 - > j

und dann

- x^{2}

durch

y

ersetzen.

DTH92 aktiv_icon

14:40 Uhr, 31.05.2016

Perfekt!! Großen Dank

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