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Einfache Extremwertprobleme (Bitte schnelle Hilfe)
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 20:04 Uhr, 24.11.2006  |
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Hallo! Ich brauche noch einmal Hilfe ... Wir behandeln im Unterricht jetzt das oben genannte Thema und ich habe dementsprechend eine Aufgabe bekommen, die ich nun leider nicht lösen kann: Die Punkte A(-u/0), B(u/0), C(u/f(u)) und D(-u/f(-u)), 0 < gleich u < gleich 3, des Graphen f mit f(x) = -x^2 + 9 bilden ein Rechteck. Für welches u wird der Flächeninhalt (Umfang) des Rechtecks ABCD maximal? Wie groß ist der maximale Inhalt (Umfang)? Wenn das weiterhilft: Als ein Zwischenergebnis hatte ich x = Wurzel aus 3 (???) Ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen muss. (Zu allem Überfluss habe ich auch meine Unterlagen mit anfänglichen Rechnungen nicht mehr.) Ich bitte um schnelle Hilfe! |
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hi, Da es eine Parabel ist, die nur auf der y-Achse nach oben verschoben ist, ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse am besten du machst dir dazu eine Skizze und zeichnest die Punkte ein Nebenbedingungen: f(x) = -x² + 9 y = -x² + 9 y = -u² + 9 Zielfunktion: A = a * b bzw. A = 2x * y mit x = u und y = -u² + 9 A(u) = 2 * u * (-u² + 9) A(u) = -2u³ + 18u Überprüfung auf lokale Extrema Notwendige Bedingung für lokale Extrema A'(u) = 0 A'(u) = -6u² + 18 0 = -6u² + 18 u_01 = + wurzel(3) u_02 = - wurzel(3) Hinreichende Bedingung A'(u) = 0; A''(u) >< 0 A''(u) = -12u A''(wurzel(3)) = -12 * (wurzel(3)) = <0 ---> lokale Maxima bei u = wurzel(3)) Flächeninhalt des Rechtecks vom lokalen Maxima: A(wurzel(3))= -2*wurzel(3)³ + 18 * wurzel(3)= ~ 20.78 FE Umfang des Rechtecks: U = 2 * a + 2 * b = 2 * (2 * wurzel(3)) + 2 * ( 6 ) = ~ 18.92 LE Überprüfung auf globale Extrema A(u -> 0) = -2*0³ + 18 * 0 = 0 FE A(u -> 3) = -2*3³ + 18 * 3 = 0 FE --> lokale Maxima ist zugleich globales Maxima mfg illi |
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| Vielen Dank erstmal! | |
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Hallo! Weiterhin habe ich auf, ein Beispiel durchzuarbeiten. Ich habe die einzelnen Schritte soweit nachvollziehen können, allerdins habe ich mit zwei Schritten Probleme. Hier nun die Aufgabe: Randextremwert Das Stück CD ist Teil des Graphen von f mit f(x)=7/16x^2+2. Für welche Länge von Q wird der Inhalt des Rechtecks RBPQ maximal? ----------------------- Aus der Skizze konnte ich folgende Punkte ablesen: R (1,5/0) B (4/0) P (4/3) D (4/9) Q(u/v) -> die Koordinaten diese Punktes sind doch gesucht, oder? ------------------------- Der Definitionsbereich liegt bei D[0;4] In wie fern sind die Abgelesenen Punkte rellevant für die Lösung der Aufgabe?? In der Lösung wird nun folgende Funktion aufgestellt: Flächeninhalt des Rechtecks: A=(4-u)* v Wieso lautet die Formel zu der Bestimmung des Flächeninhaltes hier wie oben genannt und nicht ganz normal A=u*v ??? Mein nächstes Problem liegt dann am Ende der Aufgabe: Es wurden das Maximum der Zielfunktion bestimmt und die Koordinaten von Q ausgerechnet ... Nun werden die Randwerte des Definitionsbereiches untersucht: Randwerte: A(0)= 8 ; A(4)=0 Die Zielfunktion A lautete übrigens: A(u)= -7/16u^3+7/4u^2-2u+8 Nun steht da weiterhin: Wegen A(0) > A(u) --- A(u)=7,52 --- erhält man für Q (0/2) den größten Flächeninhalt. Wie wurden hier die Koordinanten von Q bestimmt? Ich verstehe eunfach nicht, warum Q die Koordinaten 0 und 2, und nicht 0 und 8 hat ... Ich hoffe die Angaben genügen, und es kann mir noch einmal jemand helfen. |
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