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Einfache Vektor Addition

Universität / Fachhochschule

Tags: Vektor

julia87 aktiv_icon

14:04 Uhr, 12.07.2010

Hallo,

ich darf direkt zu Beginn zugeben dass ich hier evtl. fehl am Platz bin.
Ich schreibe morgen Matheklausur und komme bei einer "einfachen" Vektoradditionsaufgabe nicht weiter - was wohl an mangelnden Grundkentnissen bzgl. Vektoren liegen könnte.

Ich hoffe mir kann dennoch geholfen werden.

Meine Aufgabe habe ich unten als Bild angehängt.
Wie bereits erwähnt: Ich hatte bis vor

24

Stunden noch nie im Leben was mit Vektoren zutun, bitte also nicht wundern wenn mein Lösungsansatz total falsch ist.

Mein Lösungsansatz:

vektora1

+

vektora2 = wurzel(45²

+

30²

- 2 \cdot 45 \cdot 30 \cdot cos ((\frac{105}{180}) \cdot π)) = 60,1981

vektora3

+

vektora4 = wurzel(37,5²

+

40²

- 2 \cdot 37,5 \cdot 40 \cdot cos ((\frac{105}{180}) \cdot π)) = 61,5037

gesuchter-endvektor

= . .

.

Da ist nun mein Problem. Um

a 1 + a 2

mit

a 3 + a 4

zu addieren bräuchte ich die Winkel der jeweiligen Vektoren.

Via Sinussatz könnte man da ja was aussrechnen, à la:

\frac{60,1981}{}

sinus(Winkel)

= \frac{30}{}

sinus((105/180)*pi)

\Leftrightarrow

sinus(Winkel)

= (60,1981 \cdot

sinus((105/180)*pi))

/ 30

Winkel = arcsinus

((60,1981 \cdot

sinus((105/180)*pi))

/ 30)

Mit dem Winkel könnte ich dann oben weiterrechnen.
Nur leider endet das Ganze immer entweder in Zahlen die nicht aufgehen, oder Taschenrechner-Errors dank Winkel/Pi/Übersetzungsfehler-meinerseits.

Ich hoffe zu diesem Zeitpunkt hat der ein oder andere schon viel Verbesserndes vorzuschlagen, falls nocht hätte ich hier konkrete Fragen:

1)

Stimmt mein Vorgehen ansich, oder wäre es falsch.

2)

Ist mein Vorgehen für solch eine Aufgabe das geeignete, oder gibts da bessere Lösungsansätze.

3)

Hilfe

: (

'Einfache Vektoraddition' muss doch in paar Stunden zu verstehen sein

; P

Muss das leider bis morgen können. Ich weiss wie gesagt dass ich viel zu spät dran bin, hier im Forum total falsch sein könnte, jedoch ging es sich zeitlich vom Lernplan her nicht anders aus

. .

. hatte noch ein paar andere Themengebiete und Fächer.
Ich bin leider nicht die talentierteste Mathe-Buch-Formel-und-Definitions Versteherin, so dass ich mir weder via Mathebuch, noch Wikipedia aneignen konnte wie ich bei solch einer Aufgabe vorgehe.

Mit großer hoffnung auf Hilfe,
Julia.

Danke.

PS.: Ich bitte die grauenhafte Formatierung zu entschuldigen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

funke_61 aktiv_icon

14:32 Uhr, 12.07.2010

Hallo,

zunächst: Du brauchst keinen Sinussatz. Es reichen die ganz normalen Winkelfunktionen, um diese Vektoraditionen zu lösen.

Führ doch erstmal ein Koordinatensystem ein. Am besten ist die Richtung des Vektors

\vec{a_{1}}

die x-Richtung (oder

x_{1})

wie habt Ihr das gelernt? und eine Richtung senkrecht dazu die y-Richtung (oder

x_{2}) .

kommst Du so weit noch mit?

lg josef

julia87 aktiv_icon

14:39 Uhr, 12.07.2010

Ne muss ich leider schon passen.
Was genau meinst du mit "Richtung" ?
Müsste ich die Frage beantworten "Was ist ein Vektor", wäre meine antwort "Ein Pfeil mit einer Länge und einem Winkel." Mehr als diese zwei Eigenschaften kenn ich bis dato nicht.

Meinst du man soll sich den Vektor als Gerade vom Ursprung aus vorstellen und nun mit Länge auf x-Achse und Länge auf y-Achse arbeiten ?

julia87 aktiv_icon

14:42 Uhr, 12.07.2010

Quasi: Richtung = Wurzel

(x^{2} + y^{2})

funke_61 aktiv_icon

14:44 Uhr, 12.07.2010

ok,
wir befinden uns in einer Ebene.

Dadurch, dass ein Vektor in dieser Ebene eine Richtung und einen Winkel hat, kann man ihn auch in zwei Komponeten (eben diese senkrecht aufeinander stehenden Richtungen "aufteilen".

soweit klar?

julia87 aktiv_icon

14:48 Uhr, 12.07.2010

Meinst du der Vektor mit Länge Wurzel(2) und Winkel 45° kann auch beschrieben werden als Gerade vom Ursprung mit x-Abstand/Länge

= 1

und y-Abstand/Länge

= 1

?
Falls nein: Könntest du mir ein konkretes Zahlenbeispiel geben wie du das meinst ?

funke_61 aktiv_icon

14:51 Uhr, 12.07.2010

\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} = a

das stimmt. Dies ist der Phythagoras (Gültig im Rechtwinkligen Dreieck mit

a_{x}

und

a_{y}

als rechtwinklig aufeinander stehenden Katheten und a=Hypothenunse. Das hat aber leider gar nichts mit Richtung nichts zu tun.
für die Richtung brauchts jetzt noch "Sinus" und "Cosinus" ;-)

funke_61 aktiv_icon

14:53 Uhr, 12.07.2010

Meinst du der Vektor mit Länge Wurzel(2) und Winkel 45° kann auch beschrieben werden als Gerade vom Ursprung mit x-Abstand/Länge

= 1

und y-Abstand/Länge

= 1

?
stimmt! Hoffentlich überkreuzen sich unsere Texte nicht schon wieder.

julia87 aktiv_icon

14:57 Uhr, 12.07.2010

Unsere Texte überkreuzen sich nicht

; D

Dafür jedoch deine Antworten in meinem Kopf.
Meines Erachtens habe ich zwei mal die selbe Antwort gestellt, jedoch zwei unterschiedliche Antworten dazu bekommen. Einmal "nein falsch, wir brauchen jetzt sin/cos", einmal "richtig".
Hehe.

Seh ich das so richtig:
Man kann Vektoren auch via

x - & y -

Abstände bzw eben den Pythagoras beschreiben. Über die Richtung gibt dies jedoch keine Auskunft, sondern nur über die Länge.
Für Aussagen über die Richtung eines Vektors wären dann

sin & cos

zuständig ?

funke_61 aktiv_icon

15:03 Uhr, 12.07.2010

ja, so ungefähr.
Beispiel:
Dein Vektor

\vec{a_{2}}

wäre

z . B

. in Komponentendarstellung

(\begin{matrix} a_{2 x} \\ a_{2 y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot cos (75^{0}) \\ a_{2} \cdot sin (75^{0}) \end{matrix})

Vorraussetztung ist aber, dass x-Richtung nach rechts ist und y-Richtung nach oben.
und auch, dass zumindest in Gedanken der Ursprung des Koordinatensystems dort liegt, wo alle diese "Ortsvektoren" ihren Ausgangspunkt (Startpunkt) haben.

julia87 aktiv_icon

15:11 Uhr, 12.07.2010

Gut.
Ich hab eben beiläufig verstanden wieso genau im Einheitskreis bei

\frac{π}{2}

sinus 1 ist und warum es zwischen

90

bis

180

Grad, genauso wie zwischen

90

und 0 Grad betragsgleich kleiner wird.

\land

Wie komm ich nun von

sin & cos

meines Vektors,

d . h

. von den

x

und

y

Längen meines Vektors dazu eine Richtung festzulegen ? Wie sieht so eine Richtung überhaupt aus ? Ist das eine Zahl ? Sind es zwei Zahlen

(x

und

y)

?

Und anschließend: Addiere ich einfach die Richtungen der einzelnen Vektoren um dann die Richtung des Endvektors zu haben, oder wie würde das gehen ?

funke_61 aktiv_icon

15:16 Uhr, 12.07.2010

Schön, wenn Du die Zusammenhänge am Einheitskreis durchschaut hast.

Leider ist jetzt meine Antwort mit den Komponenten verloren gegangen.

Hier noch mal anders:

Wenn Du die Vektorkomponeneten so erstellt hast, wie ich es Dir oben gezeigt habe, dann hast Du ja die Vektorrichtung schon "verarbeitet". Dh. sie ist schon in den Vektorkomponeneten enthalten und Du brauchst dich nicht weiter um sie zu kümmern. Du hast also den "Rücken wieder frei" und kannst endlich mit der Vekroraddition beginnen.

Übrigens gibt es leider für 75° keine "schöne" entsprechung in Bogenmaß Siehe auch

http//de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#wichtige%20Funktionswerte

funke_61 aktiv_icon

15:39 Uhr, 12.07.2010

"Wie komm ich nun von

sin & cos

meines Vektors,

d . h

. von den

x

und

y

Längen meines Vektors dazu eine Richtung festzulegen ? Wie sieht so eine Richtung überhaupt aus ? Ist das eine Zahl ?"
Die Richtung ist etwas, was wie gesagt in den Vektorkomponenten enthalten ist.
und Vektoren addiert man, indem man deren Komponeneten addiert.

Die Richtung von

\vec{a_{2}}

ist in deiner Aufgabe gegeben und einfach der Winkel 75°
Der Betrag von

a_{2}

ist in Deiner Aufgabe auch gegeben und ist

| | \vec{a_{2}} | | = a_{2} = 45 .

"Sind es zwei Zahlen

(x

und y)?"
Die zwei Komponeneten enthalten eben Betrag und Richtung des Vektors. Dafür braucht ma aber ein Koordinatensystem, welches man zuerst einführt (Siehe auch Aufgabenstellung)

julia87 aktiv_icon

15:55 Uhr, 12.07.2010

a-summe-y = sin(0°)*45

+

sin(75°)*30

+

sin(120°)*37,5

+

sin(225°)*40

= 33,1685

a-summe-x = cos(0°)*45

+

cos(75°)*30

+

cos(120°)*37,5

+

cos(225°)*40

= 5,7303

\to

a-summe

y = 33,1685

\to

a-summe

x = 5,7303

a-summe länge = wurzel

[{(33,1685)}^{2} + {(5,7303)}^{2}] = 33,6598

So ?

//editiert

funke_61 aktiv_icon

16:04 Uhr, 12.07.2010

nun, wenn die x-Richtung vom Ursprung nach rechts geht, dann glaub ich, dass die x-Komponete jedes Vektors

a_{x} = a \cdot cos α

(mit

α

so wie im Einheitskreis definiert)
sein sollte.
Entsprechend ist, wenn y-Richtung "senkrecht dazu nach oben zeigt" die y-Komponente jedes Vektors

a_{y} = a \cdot sin α

(mit

α

so wie im Einheitskreis definiert)
sonst schauts für die Länge des Ergebnisvektors

\vec{a}

gar nicht so schlecht aus ;-)

julia87 aktiv_icon

16:19 Uhr, 12.07.2010

Was meinst du jeweils mit "alpha wie im Einheitskreis definiert" ?
Kenne im Einheitskreis nur

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} \cdot π

und jeweils Umdrehungen davon, bzw halt Umrechnung

\frac{π}{2} = π \cdot

(90°/180°).

Und den zugehörigen Winkel kriege ich über:

180°

\cdot (\frac{cos (\frac{5,7303}{33,6598})}{π})

oder ?

//editiert

funke_61 aktiv_icon

16:22 Uhr, 12.07.2010

hast Du meine Antwort von

16 : 04

Uhr,

12.07.2010

gelesen?

julia87 aktiv_icon

16:24 Uhr, 12.07.2010

Ja habe ich.

funke_61 aktiv_icon

16:25 Uhr, 12.07.2010

warum schreibst Du dann für die x-Richtung "sinus"?

julia87 aktiv_icon

16:27 Uhr, 12.07.2010

Ok. Ich habe deine

16 : 04

Antwort zwar gelesen, aber erst jetzt fällt mir auf was du damit meintest. Hier in der Bib sind es gefühlte 400°.
Entschuldige. Editiers gleich. Mein Fehler

=)

funke_61 aktiv_icon

16:28 Uhr, 12.07.2010

gut.

julia87 aktiv_icon

16:30 Uhr, 12.07.2010

180°

\cdot (\frac{cos (\frac{5,7303}{33,6598})}{π})

Passt jetzt für den Winkel, oder ?

funke_61 aktiv_icon

16:36 Uhr, 12.07.2010

nun ich glaube, dass Du in Deiner Rechnung von

15 : 55

Uhr,

12.07.2010

die beiden Richtungen

x

und

y

vertauscht. Schau nochmal bei meiner Antwort von

16 : 22

Uhr,

12.07.2010 .

Beim Winkel war ich ("in" meinen Gedanken) noch gar nicht.
Am Schluss würde ich den Ergebnisvektor in das Koordinatensystem zeichnen (welches Du ganz am Anfang eingeführt hast (Siehe Hinweis in der Aufgabe), und so den Winkel der aus Deiner Formel kommt, überprüfen.

funke_61 aktiv_icon

16:55 Uhr, 12.07.2010

Da ich jetzt nur noch kurz Zeit habe:
Der Ergebnisvektor

\vec{a}

sollte, wenn Du Dich nicht verrechnet hast, folgender sein:

\vec{a} = (\begin{matrix} 5,7303 \\ 33,1685 \end{matrix})

(ich habe Deine Zahlenwerte benutzt)
Dies ergibt eine Länge von

33,6598

wie Du über den Phythagoras richtig rausgebracht hast.

Der Winkel zwischen x-Richtung und

\vec{a}

ist kleiner als 90° (Aus zeichnerischer Lösung über "Kräfte-Parallelogramm")

α =

arcsin

(\frac{33,1685}{33,6598})

und ist ca. 80°
was aber schöner so zu rechnen wäre:

α =

arctan

(\frac{33,1685}{5,7303})

julia87 aktiv_icon

17:14 Uhr, 12.07.2010

Ich sitze gerade noch dran und versuche zu Verstehen. Kommen andauern Fehler durch Kleinigkeiten rein - Mathe halt ;-)
Falls du weg bist bevor ichs geschafft habe: Vielen vielen Dank. Hat mir so oder so sehr viel gebracht.

=))

funke_61 aktiv_icon

10:42 Uhr, 13.07.2010

immer wieder gern :-)
am besten das Nächste mal mit etwas grösserem zeitlichem Abstand zu Klausuren

o

.ä. ;-)
lg josef

funke_61 aktiv_icon

12:46 Uhr, 13.07.2010

ach ja, noch ein Nachtrag:
Vielleicht war es nur ein Versehen Deinerseits, aber Du solltest in Deiner Antwort von

16 : 30

Uhr,

12.07.2010

noch in der Formel das
"

cos (\frac{5,7303}{33,6598})

durch

" arccos

(\frac{5,7303}{33,6598})

ersetzen.
Grund: zum Winkel (egal ob im Bogenmaß (rad) oder in Grad) kommst Du immer mit der Umkehrfunktion der Winkelfunktion, hier also mit dem Arkuscosinus.
So wie Du es in dieser Formel schreibst, muss aber deinen Taschenrechner auf "RAD" gestellt sein, damit das Ergebnis "im Bogenmaß" herauskommt. Das "durch

π

teilen" und das "mit 180° multiplizieren" deutet auf dieses hin ;-)
Andererseits kannst Du Dir hier diesen "Umweg" aber auch sparen, wenn Du alles in Grad gerechnet hast (Also Dein Taschenrechner eh in "DEG" arbeitet, wie Deine Ergebnisse von oben zeigen ;-)
"Bogenmaß" erleichtert die Aufgabe, wenn "schöne" Winkel wie in meinem Wikipedia-Link von

15 : 16

Uhr,

12.07.2010

auftauchen. Es gibt dann insbesondere exakte Zahlenwerte wie
zB.

\frac{1}{2} \sqrt{3}

für

cos (\frac{π}{6}) = cos (30^{0}),

In diesen Fällen sollte man immer eine entsprechende Tabelle greifbar haben.
Es gibt aber auch Aufgaben, welche man immer im Bogenmaß bearbeiten muss. Leider fällt mir dazu im Moment kein passendes Beispiel ein.
Der "Umfang" des Einheitskreisstückes von 0 bis zum Winkel in rad (Bogenmaß) ist ja eben auch nichts anderes als das "Bogenmaß" vielleicht wird Dir so auch dieser Name klarer.
lg josef

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