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Einführung in die Iterationsverfahren
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Fixpunkt, iteration, Iterationsverfahren, Numerik
 
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Hi, ich lerne gerade, was ein Iterationsverfahren ist, da wir das im Abi nie hatten. Ich zittiere mal direkt aus dem Buch: (edit02.09.2013 17:08) 3.4 Iterationsverfahren Wir wenden uns wieder der allgemeinen Aufgabe, dem Lösen der Gleichung für eine in einem Intervall [a,b] vorgegebene reelle Fkt. einer reellen Veränderlichen zu. Diese Gleichung () bringen wir in die Form: . So hier ist bei mir schon Schluss mit dem Verständnis, da hier Zwischenschritte fehlen, wie man von auf kommt? Beginn Edit: ------------ In den vergangenen Stunden habe ich mir einen Einblick verschafft, was eine Iteration ist und zwar mit dieser Webseite: www.geometer.org/mathcircles/iterated.pdf Im Buch stellt man 5 Fragen zur Iteration. Die erste bezieht sich auf meine Frage. 1. Wie konstruiert man ausgehend von f(x)=0 die Funktion g(x)=x ? Ja genau, das frage ich mich auch. Die Frage 1 ist leicht zu beantworten. Sind f(x) und h(x) in [a,b] stetige Fkt's und ist h(x) für alle x aus [a,b], so ist: f(x)=0 z.B. äquivalent zu x=x+f(x)h(x) Jetzt sagt man noch, dass man x=g(x) in x=x+f(x)h(x) einsetzen kann und g(x)=x+f(x)h(x) erhält. Diese Äquivalenz: f(x)=0 <=> x=x+f(x)h(x) ich habe dazu keine Idee, wie die das gemacht haben. Wenn es äquivalent ist, dann nutzt man doch die bekannten Äquivalenzumformungen oder?? Ende Edit: ----------- Ich habe dazu diese Idee im Kopf: Da man hier 2 Gleichungen hat, gibt es irgend welche Umformungen, die man durchführen muss. || unbekannte Umformung anwenden, die aus f(x),x macht oder noch krasser ausgedrückt, die bei das x rausholt und aus 0, g(x) macht Mit "bei f(x) das x rausholen", meine ich so was wie bei: || links und rechts anwenden Ich kenne keine Umformung, die aus f(x) oder k(x) oder t(x) das x rausholt. Warum 0=g(x) ist, kann ich mir vorstellen, da es ja g(x)=0*x gibt, hier werden alle x-Werte auf 0 abgebildet. Und die Funktionsgleichung der Winkelhalbierenden Funktion im KOS ist ja f(x)=x. Jedem x-Wert wird der gleiche y-Wert zugeordnet. Das sind aber nicht die Umformungen, wie ich sie bei gezeigt habe. Ich kenne diese Umformungen bei Gleichungen: -Äquivalenzumformungen -links & rechts quadrieren -links & rechts Wurzel ziehen -links & rechts anwenden -li. & re. ln anwenden - das Gleich kann man bei sin, cos, tan machen Aber wie nennt man das, wenn man sagt: "Bei " wende ich g(x)=0*x und f(x)=x an? Weiß jemand, wie man das nennt?? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, das ist zunächst ganz allgemein gemeint, also etwas umgangssprachlich: Diese Gleichung bringen wir in die Form: . Das kann je nach Situation so sein, wie Du das in Deinem Beispiel beschrieben hast. Allgemeind geht . mit einer Konstanten . Im weiteren wirst Du dann sehen, dass das nicht für alle möglichen hilfreich ist, weil das bestimmte Eigenschaften haben muss, so dass man damit ein Iterationsverfahren konvergent durchgeführt werden kann - lies mal weiter. Gruß pwm |
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Das Problem ist, wenn ich eine Zeile in Büchern oder Skripten nicht nachvollziehen kann, dann muss ich beim weiteren lesen die ganze Zeit an das Unklare denken. Wenn ich die Unklarheit dann verstanden habe geht es wie geschmiert. Ich kann es vielleicht nicht nachvollziehen, da ich nicht weiß, auf welchen Themen oder Stoffgebieten die Iteration aufbaut. Ich habe die Vermutung, dass es Folgen sind, wegen dem oder liege ich da falsch? |
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Ja, Iterationsverfahren definieren rekursiv definierte Folgen, . . Gruß pwm |
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Ohh, ok, dann habe ich ja ein großes Fass aufgemacht, wo ich erst einmal den Boden finden muss, auf dem Alles aufbaut und dann kann ich mich nach oben durcharbeiten. Mit diesem Halbwissen kommt man ja nicht weit. |
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"Iteration" ist einfach eine Vorschrift/Funktion die man hintereinander mehrfach ausfuehrt. Das Resultat der Funktion naehert sich mit jedem "Iterationsschritt" Schritt fuer Schritt an das gesuchte Ergebis an. Das Ergebnis des vorhergehenden Iterationsschritts wird meist als Parameter fuer den aktuellen Iterationschritt verwendet. |
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Ja, das habe ich auf dieser Seite anschaulich mit dem Bankkonto sehen können. www.geometer.org/mathcircles/iterated.pdf Nur die Äquivalenz von f(x)=0 <=> x=x+f(x)h(x) nennt man die rechte Seite *** Man weiß, dass f(x)=0 eingesetzt in ***=> x = x+0*h(x) <=> x=x Man weiß, dass x=g(x) dann steht dort g(x)=g(x) Die Gleichung g(x)=x geht mit nicht genannten Schritten aus f(x)=0 hervor, das ist die Gleichung, die gelößt werden soll. Und ich habe ja am Anfang geglaubt, dass wenn f(x)=0 die Ausgangsgleichung ist. Und auf x=g(x) kann man ja nur kommen, wenn man sagt: f(x)=x für die linke Seite und g(x)=0*x für die rechte Seite. Das sind aber keine Äquivalenzumformungen!!! Bei f(x)=0 <=> x=x+f(x)h(x) benutzt man die bekannten Äquivalenzumformungen. 1. links und rechts mit einer Zahl addieren oder subtrahieren. f(x)=0 || +x f(x)+x=x || Seiten vertauschen & Kommutativgesetz der Addition anwenden x=x+f(x) || *h(x) h(x)*x=h(x)*x+h(x)*f(x) || unbekannte Umformung x=x+f(x)*h(x) Welche Äquivalenzumforumg macht so was????? |
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zunaechst einmal sagt das Buch dass irgendeine beliebige Funktion auf einem vorgegebenen intervall ist. Das heisst ja dann schonmal, dass zum Beispiel so aussehen koennte: oder oder f(x)=arctan(x). Weiterhin sagt das Buch was das Ziel ist. Und zwar soll geloest werden, also dann entweder oder oder arctan(x)=0. Je nachdem wie du die Funktion waehlst. Soweit verstanden? Ich glaube du musst dich erstmal mit den sprachlichen Begriffen auseinandersetzen. Was ein Funktion ist, was ein Parameter ist, etc. Wenn das nicht richtig sitzt wird man auch das Iterationsverfahren schwer verstehen koennen. Falls du Ahnung vom Programmieren hast dann schau dir mal die Implementation rekursiver Funktionen an. Ein schoenes Beispiel ist . die rekursive Bestimmung der "Fibonacci-Zahlen". |
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Ok, dann werde ich lieber noch einmal lernen, was eine Funktion ist und was ein Parameter ist. Vielleicht finde ich eine Wissenslücke. Dann lasse ich dir Frage erst einmal offen. |
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