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Einheiten, multiplikative Inverse und anderes :)

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Einheit, Einheitengruppe, erzeugendes Element, Gruppen, zyklische Gruppe

Bibsel aktiv_icon

19:36 Uhr, 20.05.2014

Guten Abend,

Ich habe mal wieder eine Frage...

"Überprüfen Sie, ob

\bar{451} \in ℤ_{705}

eine Einheit ist und berechnen Sie falls möglich das multiplikative Inverse.
Wie viele Elemente hat die Einheitengruppe

ℤ_{46}

? Überprüfen Sie, ob

E (ℤ_{46})

zyklisch ist, geben Sie, wenn möglich ein erzeugendes Element an und stellen sie

\bar{45}

als Potenz dieses Elements dar."

Gut, den ersten Teil habe ich weitestgehend problemlos hinbekommen (behaupte ich jedenfalls mal).
Schwierig wurde es für mich ab dem Teil mit der potentiell zyklischen Einheitengruppe.

Die Einheitengruppe

E (ℤ_{46})

besteht aus den Zahlen, die teilerfremd zu

46

sind

\Rightarrow E (ℤ_{46}) = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45}

\Rightarrow

die Gruppe hat

22

Elemente, also ist auch die Ordnung der Gruppe

22

.

Mein erster Gedanke (an dem ich mich sehr stark ausgetobt habe) war, dass 3 der Erzeuger der Gruppe sein müsse, das war jedoch nun erwiesenermaßen falsch.

Eine wichtige Bedigung vorab:
Jede zyklische Gruppe ist abelsch, das heißt, sollte sich rausstellen, dass diese Gruppe nicht abelsch ist, könne sie garnicht zyklisch sein, oder? Jedoch hab ich gehört, dass man so rum nicht arugmentieren könne).

Ich habe also eine Verknüpfungstabelle erstellt, und laut dieser sah

E (ℤ_{46})

alles andere als zyklisch aus.
Habe ich es dann damit schon widerlegt, also gezeigt, dass

E (ℤ_{46})

nicht zyklisch ist, oder müsste ich anders vor gehen?

Falls der Wunsch besteht, stelle ich die Verknüpfungstafel gerne mit rein.

Edit: Ach huch... Natürlich ist die Gruppe abelsch. So ein Käse aber auch :-D)

LG,
Bibsel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

19:54 Uhr, 20.05.2014

"Ich habe also eine Verknüpfungstabelle erstellt, und laut dieser sah

E (ℤ 46)

alles andere als zyklisch aus. "

Die Gruppe

G

ist genau dann zyklisch, wenn ein Element der Ordnung

∣ G ∣

existiert, also in diesem Fall ein Element der Ordnung

22

.
Wenn Du also beweisen kannst, dass alle Elemente kleinere Ordnungen haben, dann kann sie nicht zyklisch sein.
Es gibt übrigens so einen allgemeinen Satz:
http://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/ez/ausblick03.pdf. Er sagt sofort, dass

(ℤ_{46}, \cdot)

doch zyklisch ist.

Nun, die Frage ist also, welches Element die Ordnung

22

hat. Es ist

5

, glaube ich.

Bibsel aktiv_icon

20:43 Uhr, 20.05.2014

Danke für deine schnelle Antwort,

Also 5 ist wirklich Ordnung

22,

danke für den Tipp ;-)

3^{22} = 1,

aber das ist ja trivial, da 3 die Ordnung

11

hat.

Wenn ich nun also 5 als Erzeuger habe, wie wäre das genaue weitere Vorgehen?
Bei 3 war mein Gedankengang wie folgt:

3 = 1 \cdot 3 = 3 {mod}_{46} = 3

5 = 17 \cdot 3 = 33 {mod}_{46} = 5

7 = 33 \cdot 3 = 99 {mod}_{46} = 7

9 = 3 \cdot 3 = 9 {mod}_{46} = 9

11 = 19 \cdot 3 = 57 {mod}_{46} = 11

13 = 35 \cdot 3 = 105 {mod}_{46} = 13

15 = 5 \cdot 3 = 15 {mod}_{46} = 15

17 = 21 \cdot 3 = 63 {mod}_{46} = 17

19 = 37 \cdot 3 = 111 {mod}_{46} = 19

21 = 7 \cdot 3 = 21 {mod}_{46} = 21

25 = 39 \cdot 3 = 117 {mod}_{46} = 25

usw...
Ist die Vorgehensweise richtig und ich könte sie übertragen oder denke ich in die absolut falsche Richtung?

Das mit dem Link ist hilfreich, vielen Dank, nur hatten wir es so nicht in der Vorlesung, daher weiß ich nicht, ob ich es so übernehmen dürfte als Begründung.

LG,
Bibsel

DrBoogie aktiv_icon

22:00 Uhr, 20.05.2014

Was musst Du denn machen?
Irgendwie verstehe ich nicht, wozu Du Potenzen von

3

betrachtest.

Ich sehe da nur eine Aufgabe noch: und zwar

\bar{45}

als Potenz von

\bar{5}

darzustellen (da

\bar{5}

der Erzeuger der Gruppe ist). Das geht so: wenn

{\bar{5}}^{n} = \bar{45}

, dann

{\bar{5}}^{2 n} = {\bar{45}}^{2} = {\bar{- 1}}^{2} = \bar{1} = >

2 n

ist Vielfaches von

22

n

ist Vielfaches von

11

. Sei nun

n = 11 k

, dann kann

k

nicht gerade sein, denn wenn

k = 2 l

wäre, hätten wir

\bar{45} = {\bar{5}}^{n} = {\bar{5}}^{11 k} = {\bar{5}}^{22 l} = ({\bar{5}}^{22})^{l} = \bar{1}

, ein Widerspruch. Also ist

k

ungerade,

k = 2 l + 1

und

\bar{45} = {\bar{5}}^{n} = {\bar{5}}^{11 k} = {\bar{5}}^{22 l + 11} = ({\bar{5}}^{22})^{l} {\bar{5}}^{11} = {\bar{5}}^{11}

Bibsel aktiv_icon

23:05 Uhr, 20.05.2014

Guten Abend,

Ich habe damit nur (fälschlicherweise) versucht zu zeigen, dass 3 das erzeugende Element der Gruppe ist und man alle anderen Elemente der Gruppe als Vielfaches von 3 darstellen kann.

Mit dem Teil, den Du da dargestellt hast, habe ich mich bisher noch nicht beschäftigt^^

Aber Danke schonmal für die Antwort, im Anschluss an meinen Versuch kann ich es dann direkt überprüfen :-)

LG,
Bibsel

michaL aktiv_icon

09:34 Uhr, 21.05.2014

Hallo,

\overline{3}

ist nun gerade kein Erzeuger. Es gibt aber relativ viele Erzeuger (genau

φ (22) = 10

Stück). Die Wahrscheinlichkeit, auf einen zu treffen ist damit relativ hoch.

Ich habe mit einer openOffice-Tabelle ziemlich genau 3 Minuten gebraucht, alle(!) Erzeuger zu finden. Sicher kannst du mit sowas umgehen, oder? (Microsoft Office sollte das auch schaffen)

Überlege, was bei einem Erzeuger

x

passiert, wenn man die 11. Potenz modulo 46 berechnet! Das hilft beim Erstellen der Tabelle.

Wenn es nur um den Nachweis der Zyklizität geht, so reichen eigentlich die beide Eigenschaften abelsch und

22 = 2 \cdot 11

Elemente aus.

Demnach ist jede abelsche Gruppe mit 22 Elementen isomorph zu

ℤ_{2} \times ℤ_{11} ≃ ℤ_{22}

, da 2 und 11 teilerfremd sind.

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

10:30 Uhr, 21.05.2014

Guten Morgen MichaL,

Also ich dachte immer, ich könnte mit Open-Office usw umgehen, jedoch beweist mir das Programm da immer das Gegenteil :-D)

Auf den Gedanken, das mit einer OpenOffice Tabelle zu bearbeiten, bin ich noch gar nicht gekommen.
Habe es jetzt versucht, aber es kam das raus, was ich auch vorher schon raus hatte... Der einzige Erzeuger ist bei mir

5,

was mach ich denn falsch?

Noch einmal grundlegend...
Ein Erzeuger ist doch ein Element, dass potenziert mit der Ordnung der Gruppe modulo so und so 1 ergibt, oder nicht?

Also in dem Fall suchen wir

x^{22} {mod}_{46} = 1,

oder seh ich das falsch...? Falls ich das falsch sehe, habe ich wohl ein ganz anderes Problem.

LG,
Bibsel

DrBoogie aktiv_icon

19:25 Uhr, 21.05.2014

Ein Erzeuger muss

x^{22} = 1 (

mod

46)

erfüllen und zusätzlich die Bedingung

x^{a} \neq 1 (

mod

46)

für

a < 22

michaL aktiv_icon

19:35 Uhr, 21.05.2014

Hallo,

tja, ich hatte damals auch nicht den Gedanken, mit Tabellenkalkulationen zu arbeiten. Aber vermutlich deshalb, weil ich damit vorher nie gearbeitet hatte.

Leider gilt für alle Einheiten von

x \in (ℤ /_{46 ℤ})^{*}

die Gleichung

x^{22} = \overline{1}

.
Satz der Gruppentheorie:

g^{∣ G ∣} = e

für alle Elemente

g

endlicher Gruppen

G

. (Satz von Euler)

Wie DrBoogie schon schreibt, muss es ein Element

x

sein, für das

x^{n} \neq \overline{1}

gilt für

1 \leq n \leq 21

.

Immerhin hast du recht,

\overline{5}

ist ein Erzeuger.

Vormaliger Tipp war: Was ist

x^{11}

für einen Erzeuger

x

?
Damit wären alle Erzeuger zu finden gewesen.

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

22:18 Uhr, 21.05.2014

Guten Abend,

Also ja, für einen Erzeuger

x^{11} {mod}_{46}

gilt

x^{11} {mod}_{46} = 45,

soweit ist es mir ziemlich klar,
nur wenn ich diese Modulo-Funktion von OpenOffice nehme, erhalte ich (ich versuche einfach, die Tabelle anzuhängen). Als ich die Werte

.^{22}

zu Fuß berechnet habe, kam auch immer schön die 1 raus, was da in der Tabelle schief gelaufen ist, weiß ich nun nicht

: (

LG,
Bibsel

michaL aktiv_icon

07:16 Uhr, 23.05.2014

Hallo,

warum nimmst du nicht eine zweispaltige Tabelle?
Links die potentiellen Erzeuger (alle invertierbaren Elemente), rechts das linke hoch 11 und modulo 46. Und wenn dabei

45 ≃ - 1

mod 46 heraus kommt, dann ist das Element ein Erzeuger.

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

09:18 Uhr, 23.05.2014

Guten Morgen,

Das Problem ist allgemein, dass ich bei

x^{22} = 1

rauskriegen müsste, da die Gruppe die Ordnung

22

hat, jedoch ist das in meiner Excel-Tabelle nicht der Fall.
Habe es jetzt also nochmal von Hand gerechnet, so kann ich dann auch schön einzeln aufschreiben, welche Ordnung das jeweilige Element hat.
Mit der mühsamen Rechnung "zu Fuß" habe ich nun auch alle

10

Erzeuger rausbekommen:

5, 7, 11, 15, 17, 19, 21, 33, 37

und

43

.

Aber da ja auch 5 ein Erzeuger ist, muss ich daran nicht mehr groß etwas ändern, wobei vielleicht ergänze ich auch die anderen Elemente und erhoffe mir dadurch Extra-Punkte :-D)

Sind die Erzeuger denn nun richtig? Wobei, müssen sie ja...

LG,
Bibsel

DrBoogie aktiv_icon

09:44 Uhr, 23.05.2014

Du brauchst nicht alle Erzeuger "zu Fuss" ausrechnen, nur einen.
Kuck mal:

5

ist ein Erzeuger, deshalb sind alle Elementen Potenzen von

5

(ich schreibe jetzt mal alles ohne "bar", also ist z.B.

\bar{5}

gemeint, wenn ich einfach

5

schreibe). Die Frage: welche davon sind auch Erzeuger, also für welche

5^{n}

gilt:

o r d (5^{n}) = 22

. Oder andersherum, für welche

n

kann es sein, dass

(5^{n})^{a} = 1

mit

a < 22

(solche

5^{n}

sind keine Erzeuger). Wegen

(5^{n})^{a} = 5^{a n} = 1

müsste dann

a n

durch

22

teilbar sein. Und wenn wir uns nur auf auf den Fall

n < 22, a < 22

einschränken (was wir tun können, weil

5^{n + 22} = 5^{n}

und

(5^{n})^{a + 22} = (5^{n})^{a}

), dann können

n

und

a

nur von der Form

2 l

mit ganzem

l

oder

11

sein. Wenn

n = 2 l

ist, ist

5^{2 l}

kein Erzeuger, denn

(5^{2 l})^{11} = (5^{22})^{l} = 1

, genauso sind

5^{11}

kein Erzeuger. Alle anderen

5^{n}

sind aber Erzeuger.
Also sind alle Erzeuger:

5, 5^{3}, 5^{5}, 5^{7}, 5^{9}, 5^{13}, 5^{15}, 5^{17}, 5^{19}, 5^{21}

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